لذت ریاضیات با پروفسور آرتور تی. بنجامین

آیا آماده‌اید تا سلول‌های مغزی خود را به کار بگیرید؟ این 24 درس، لذت محض ریاضیات را جشن می‌گیرند و توسط ریاضیدانی تدریس می‌شوند که به‌معنای واقعی کلمه با اعداد جادو می کند. در طول این درس‌ها، پروفسور آرتور تی. بنجامین، استاد و برنده‌ی جایزه، نشان می‌دهد که سازه‌ی زیبا و اغلب باشکوه ساخته شده با جبر، هندسه، مثلثات، حساب دیفرانسیل و انتگرال، احتمال و موارد بسیار دیگر بر پایه‌ی چیزی جز بازی با اعداد نیست. پروفسور بنجامین با ترکیب ترفندهای سرگرم‌کننده‌ی عددی با خواص عمیق‌تر ریاضیات، مخاطب را با اعداد اول، اعداد فیبوناچی و سری‌های نامتناهی آشنا می‌کند.

شرکت‌کنندگان تکنیک‌های قدرتمند دستکاری اعداد با استفاده از جبر، هندسه، مثلثات، حساب دیفرانسیل و انتگرال و احتمال را در درس‌هایی که ممکن است یادآور دروس دبیرستان و دانشگاه باشند، بررسی خواهند کرد. این درس‌ها هم برای مرور مفید و هم دیدی کلی نسبت به مهم‌ترین حوزه‌های ریاضیات فراهم می‌کنند.

این درس‌ها به‌طور خاص برای موارد زیر مناسب هستند: هر کسی که مجذوب وعده‌ی نگرشی شاداب نسبت به یک درس اغلب دلهره‌آور است؛ هر کسی که دروس ریاضی دبیرستان و دانشگاه برای او خاطره‌ای دور است؛ هر کسی که در حال حاضر ریاضیات می‌خواند و مایل است دیدی کل‌نگر نسبت به حوزه‌های اصلی این رشته داشته باشد؛ و علاقه‌مندان نوظهور به ریاضیات که عاشق اعداد و جادویی هستند که می‌توان با آن‌ها انجام داد. آماده باشید تا با معادلات عجیب، روش‌های نوین تفکر، و نمادها و روش‌های محاسباتی مواجه شوید که ممکن است برایتان جدید باشند. اما همچنین آماده باشید تا هوش خود را به روش‌هایی که هرگز تصور نمی‌کردید، تقویت کنید.

01: لذت ریاضیات - دید کلی

پروفسور بنجامین اصول اولیه‌ی قدردانی از ریاضیات را معرفی می‌کند: این رشته را می‌توان به‌خاطر کاربردهایش، زیبایی و ساختارش، و قطعیتش دوست داشت. مهم‌تر از همه، ریاضیات منبع لذت بی‌پایانی از طریق بازی خلاقانه با اعداد است…

02: لذت اعداد 

چگونه می‌توان تمام اعداد 1 تا 100 را به‌صورت آنی جمع کرد؟ چه چیزی یک عدد مربع را مربع و یک عدد مثلثی را مثلثی می‌کند؟ چرا قواعد حساب واقعاً کار می‌کنند، و چگونه می‌توان در مبناهایی غیر از 10 محاسبه کرد؟

03: لذت اعداد اول 

یک عدد اول است اگر فقط بر خودش و 1 بخش‌پذیر باشد: برای مثال، 2، 3، 5، 7، 11. پروفسور بنجامین ثابت می‌کند که تعداد نامتناهی عدد اول وجود دارد و نشان می‌دهد که آن‌ها چگونه بلوک‌های سازنده‌ی دستگاه اعداد ما هستند.

04: لذت شمارش

ترکیبیات مطالعه‌ی سوالات شمارشی است، مانند: اگر 8 پیراهن، 5 شلوار و 10 کراوات داشته باشید، چند دست لباس ممکن است؟ سوال دشوارتر: چند روش برای مرتب کردن 10 کتاب روی قفسه وجود دارد؟ ترکیبیات همچنین می‌تواند برای تحلیل سیستم‌های شماره‌گذاری، مانند کدهای ZIP یا پلاک خودروها، و همچنین بازی‌های شانسی مورد استفاده قرار گیرد…

05: لذت اعداد فیبوناچی

اعداد فیبوناچی از الگوی ساده‌ی 1، 1، 2، 3، 5، 8 و غیره پیروی می‌کنند، که در آن هر عدد مجموع دو عدد قبلی است. اعداد فیبوناچی خواص زیبا و غیرمنتظره‌ی بسیاری دارند و در طبیعت، هنر و شعر ظاهر می‌شوند…

06: لذت جبر 

شاید مهم‌ترین حوزه ریاضیات، جبر است که ایده قدرتمند استفاده از یک متغیر انتزاعی برای نمایش یک کمیت نامعلوم را معرفی می‌کند. این درس قانون طلایی جبر را نشان می‌دهد: با یک طرف معادله همان کاری را انجام دهید که با طرف دیگر انجام می‌دهید.

07: لذت جبر پیشرفته 

این درس نشان می‌دهد چگونه معادلات درجه دوم با استفاده از تکنیک “تکمیل مربع” و فرمول درجه دوم حل می‌شوند. فرمول درجه دوم ارتباط بین اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی را آشکار می‌کند…

08: لذت جبر بصری‌شده 

جبر می‌تواند برای حل مسائل هندسی، مانند یافتن نقطه‌ی تلاقی دو خط، استفاده شود. این تکنیک در مسائل دنیای واقعی، به‌طور مثال، در انتخاب طرح تلفن، مفید است. نمودارها به ما کمک می‌کنند تا همه چیز را از خطوط گرفته تا معادلات با توان‌های منفی یا کسری بهتر درک کنیم.

09: لذت عدد 9

جمع ارقام مضرب 9 همیشه مضربی از 9 می‌شود. برای مثال: 9 x 4 = 36، و 3 + 6 = 9. در حساب پیمانه‌ای، این خاصیت امکان بررسی پاسخ‌ها با “حذف نُه” را فراهم می‌کند. یک ترفند مرتبط: محاسبه‌ی ذهنی روز هفته برای هر تاریخی در گذشته…

10: لذت اثبات‌ها 

پروفسور بنجامین بحث خود را درباره‌ی اثبات‌های ریاضی با موارد شهودی مانند “زوج به علاوه زوج، زوج است” و “فرد ضربدر فرد، فرد است” آغاز می‌کند. او به سمت اثبات‌های پیچیده‌تر با استفاده از وجود و استقرا حرکت می‌کند و با یک چالش صفحه‌ی شطرنج به پایان می‌رساند…

11: لذت هندسه 

هندسه بر پایه‌ی چند تعریف و اصل موضوعه مربوط به نقاط، خطوط و زوایا بنا شده است. این اصول به نتایج مهمی در مورد خواص چندضلعی‌ها منجر می‌شوند. این درس از استدلال هندسی برای استنتاج قضیه‌ی فیثاغورث و نتایج جالب دیگر استفاده می‌کند…

12: لذت عدد پی

عدد پی نسبت محیط دایره به قطر آن است. این عدد با 3.14 شروع می‌شود و در یک دنباله‌ی نامتناهی غیرتکراری ادامه می‌یابد. پروفسور بنجامین نشان می‌دهد که چگونه می‌توان صد رقم اول این عدد مشهور را یاد گرفت و آن را به‌سادگی یادگرفتنی نشان می‌دهد.

13: لذت مثلثات

مثلثات با اضلاع و زوایای مثلث‌ها سروکار دارد. این درس سینوس، کسینوس و تانژانت را به‌همراه معکوس‌هایشان، کسکانت، سکانت و کتانژانت تعریف می‌کند. بسط این تعاریف به دایره واحد، امکان اندازه‌گیری مفیدی برای زاویه را فراهم می‌کند: رادیان

14: لذت عدد موهومی i 

آیا عدد به‌ظاهر بی‌معنی ریشه‌ی دوم منفی 1 می‌تواند مفید باشد؟ بسیار زیاد، همانطور که این درس نشان می‌دهد. چنین اعداد موهومی و مختلطی نقش ضروری در فیزیک و سایر رشته‌ها ایفا می‌کنند، و درک آن‌ها آسان‌تر از آن چیزی است که به‌نظر می‌رسد…

15: لذت عدد e

عدد ضروری دیگری که باید آموخت، e=2.71828...e = 2.71828...e=2.71828... است. عدد eee که به‌عنوان پایه‌ی لگاریتم طبیعی تعریف می‌شود، نقش محوری در حساب دیفرانسیل و انتگرال ایفا می‌کند و به‌طور طبیعی در بسیاری از حوزه‌های ریاضیات، از جمله محاسبات بهره‌ی مرکب، پدیدار می‌شود…

16: لذت بی‌نهایت 

معنای بی‌نهایت چیست؟ آیا برخی مجموعه‌های نامتناهی، “بیشتر” نامتناهی از دیگری هستند؟ آیا ممکن است تعداد نامتناهی از سطوح بی‌نهایت وجود داشته باشد؟ این درس به بررسی برخی از ایده‌های عجیب مرتبط با بی‌نهایت ریاضی می‌پردازد.

17: لذت سری‌های نامتناهی

این درس با تحلیل گزاره‌ی 0.999999999...=10.999999999... = 10.999999999...=1 آغاز می‌شود و به بررسی معنای جمع کردن یک سری نامتناهی از اعداد می‌پردازد. برخی سری‌های نامتناهی به یک مقدار مشخص همگرا می‌شوند، در حالی که برخی دیگر به‌طور دلخواه بزرگ می‌شوند.

18: لذت حساب دیفرانسیل 

حساب دیفرانسیل و انتگرال، ریاضیات تغییر است و به سوالاتی مانند: یک تابع با چه سرعتی در حال رشد است؟ پاسخ می‌دهد. این درس مفاهیم حد (limits) و مشتق (derivatives) را معرفی می‌کند، که امکان اندازه‌گیری شیب یک منحنی را در هر نقطه فراهم می‌آورد…

19: لذت تقریب با حساب دیفرانسیل و انتگرال

با بهره‌گیری از ایده مشتق، می‌توان تقریباً هر تابعی را با استفاده از چندجمله‌ای‌های ساده تقریب زد. این درس همچنین نشان می‌دهد که چرا فرمولی که گاهی “معادله‌ی God” نامیده می‌شود (شامل e,i,π,1e, i, \pi, 1e,i,π,1 و 000) صحیح است، و چگونه می‌توان ریشه‌های مربع را به‌صورت ذهنی محاسبه کرد…

20: لذت حساب انتگرال 

از هندسه و مثلثات برای تعیین مساحت اشکال ساده مانند مثلث‌ها و دایره‌ها استفاده می‌شود. اما اشکال پیچیده‌تر چگونه اندازه‌گیری می‌شوند؟ حساب دیفرانسیل و انتگرال با تکنیکی به‌نام انتگرال‌گیری به کمک می‌آید، که مساحت‌های اشکال ساده‌ی بسیاری از مقادیر کوچک را با هم جمع می‌کند…

21: لذت مثلث پاسکال 

مثلث پاسکال، یک آرایش هندسی از ضرایب دوجمله‌ای، خزانه‌ای از الگوهای عددی زیبا است. این مثلث حتی پاسخی برای آهنگ “دوازده روز کریسمس” ارائه می‌دهد: عشق واقعی من دقیقاً چه تعداد هدیه برای من فرستاد؟…

22: لذت احتمال 

ریاضیات می‌تواند استنتاجات دقیقی در مورد رویدادهای تصادفی انجام دهد. این درس مفاهیم اصلی احتمال، مانند قانون اعداد بزرگ، قضیه‌ی حد مرکزی و چگونگی اندازه‌گیری واریانس را پوشش می‌دهد…

23: لذت بازی‌های ریاضی

این درس قانون احتمال کل و سایر مفاهیم دوره را برای پیش‌بینی زیان‌های بلندمدت مورد انتظار در بازی‌هایی مانند رولت و کرپس و درک آنچه “مسئله‌ی ورشکستگی قمارباز” نامیده می‌شود، به‌کار می‌گیرد.

24: لذت جادوی ریاضی 

پروفسور بنجامین با شور و هیجان یک شعبده‌باز، دوره را با نمایش یک ترفند برای آشکار کردن شماره تلفن هر کسی، نحوه‌ی ایجاد یک مربع جادویی بر اساس تاریخ تولد، نحوه‌ی بازی “بازمانده‌ی ریاضیاتی”، تکنیکی برای محاسبه‌ی ریشه‌های مکعب به‌صورت ذهنی، و یک ترفند کارتی برای تأمل، به پایان می‌رساند.