یک دوره‌ کامل و مقدماتی در معادلات دیفرانسیل

آنچه یاد خواهید گرفت:

• معادلات دیفرانسیل را بر اساس نوع و مرتبه‌ی آن‌ها طبقه‌بندی کنید.
• معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی اول جداشدنی، خطی، همگن، دقیق و همچنین انواع دیگری را که با جایگذاری‌های مختلف قابل حل هستند، حل کنید.
• از معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی اول برای مدل‌سازی کاربردهای مختلف در علوم استفاده کنید.
• معادلات خطی مرتبه‌ی دوم با ضرایب ثابت را، چه همگن و چه ناهمگن، با استفاده از روش ضرایب نامعین، تغییر پارامترها و تبدیل لاپلاس حل کنید.
• نظریه‌ی معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه‌ی دوم و ارتباط آن با مفاهیم جبر خطی را درک کنید.
• از معادلات خطی مرتبه‌ی دوم با ضرایب ثابت، چه همگن و چه ناهمگن، برای مدل‌سازی کاربردهای علمی استفاده کنید.
• تبدیل لاپلاس و تبدیل لاپلاس معکوس را به‌دست آورید.
• از تبدیل لاپلاس برای حل معادلات خطی مرتبه‌ی دوم با ضرایب ثابت که شامل توابع نیرویی مانند ضربه‌ها، توابع پله‌ای و توابع تناوبی هستند، استفاده کنید.
• سیستم‌های معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت را حل کنید و اهمیت مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را در یافتن جواب‌ها درک کنید.
• اهمیت نمایی ماتریسی و روش محاسبه‌ی آن را برای یافتن جواب‌های سیستم‌های خطی معادلات دیفرانسیل درک کنید.
• روش‌های عددی پایه را برای یافتن جواب‌های تقریبی معادلات دیفرانسیل به‌کار ببرید.
• مبانی برخی مفاهیم تحلیل مختلط و کاربرد آن‌ها در معادلات دیفرانسیل را درک کنید.
• با استفاده از نقاط تعادل، پرتره‌های فاز و تحلیل پایداری، سیستم‌های خطی را تحلیل کنید.
• از Maple برای حل تحلیلی و عددی معادلات دیفرانسیل استفاده کنید. همچنین از Maple برای مطالعه‌ی کیفی معادلات دیفرانسیل استفاده کنید.
• پدیده‌های دنیای واقعی را با معادلات دیفرانسیل مدل‌سازی کنید.
• جواب‌های سری برای معادلات خطی مرتبه‌ی دوم با ضرایب متغیر را به‌دست آورید. این متد را برای نقاط عادی و نقاط تکین منظم اعمال کنید. با استفاده از روش فروبنیوس، جواب‌های سری فروبنیوس را پیدا کنید. از کاهش مرتبه برای یافتن جواب‌های سری استفاده کنید.
• از سری‌های فوریه برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده کنید. معادله‌ی گرما، موج و لاپلاس را با استفاده از جداسازی متغیرها و سری‌های فوریه حل کنید. نظریه و کاربردهای سری فوریه‌ی عمومی، سری فوریه‌ی سینوسی، سری فوریه‌ی کسینوسی و همگرایی سری‌های فوریه را درک کنید. معادلات دیفرانسیل جزئی ناهمگن را حل کنید.
• از نظریه‌ی فضاهای برداری، عمودبودن توابع و ضرب داخلی، و عملگرهای خودالحاقی استفاده کنید و آن‌ها را در مسائل مقدارویژه‌ی استورم-لیوویل به‌کار ببرید. از بسط‌های تابع ویژه برای حل مسائل ناهمگن استفاده کنید.
• سیستم‌های خودمختار غیرخطی را با یافتن نقاط تعادل و پایداری تحلیل کنید. مفهوم خطی‌سازی و قضیه‌ی هارتمن-گروبمن را درک کنید. دوشاخه‌شدگی هاپف و همچنین دیگر دوشاخه‌شدگی‌های شناخته‌شده را پیدا و تحلیل کنید.
• روش‌های عددی را به‌کار ببرید و اهمیت پایداری و دقت را درک کنید. بتوانید آن‌ها را در Maple پیاده‌سازی کنید. بتوانید از حل‌کننده‌های پیشرفته‌ی معادلات دیفرانسیل استفاده کنید.

پیش‌نیازهای دوره

• حساب دیفرانسیل و انتگرال سال اول

توضیحات دوره

این دوره همه‌ی مباحثی را آموزش می‌دهد که معمولاً در دو ترم اول یک درس دانشگاهی/کالجی معادلات دیفرانسیل تدریس می‌شوند. موضوعاتی که در این دوره بررسی خواهیم کرد عبارت‌اند از

• معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی اول
• معادلات خطی مرتبه‌های بالاتر
• متدهای تبدیل لاپلاس
• سیستم‌های خطی معادلات دیفرانسیل
• متدهای سری توانی
• معادلات دیفرانسیل جزئی
• سری‌های فوریه
• مسائل مقدارویژه‌ی استورم-لیوویل
• سیستم‌های غیرخطی معادلات دیفرانسیل
• متدهای عددی 

این دوره برای چه کسانی مناسب است؟

• دانشجویانی که معادلات دیفرانسیل را در کالج یا دانشگاه می‌گذرانند.
• دانشجویانی که برای گذراندن درس معادلات دیفرانسیل در کالج یا دانشگاه آماده می‌شوند.
• هر کسی که می‌خواهد درباره‌ی موضوع معادلات دیفرانسیل بیاموزد.