ریاضیات گسسته 2

آنچه یاد خواهید گرفت:

• چگونه مسائل مربوط به موضوعات منتخب ریاضیات گسسته را حل کنیم (با 412 مسئله حل‌شده به‌صورت نمونه) و چرا این روش‌ها کار می‌کنند? - همراه با توضیحات گام‌به‌گام
• ترکیبیات - ادامه ریاضیات گسسته 1: جایگشت‌ها، واریاسیون‌ها (با تکرار و بدون تکرار)، ترکیب‌ها، برخی مسائل که در ریاضیات گسسته 1 فرمول‌بندی شده بودند، اما حل نشده بودند.
• موضوعات بیشتر در ترکیبیات، از جمله شمارش مجموعه‌های چندگانه (روش چوب و سنگ) و یک تعمیم از اصل شمول و عدم‌شمول (در 2 نسخه)
• آشنایی با برخی موضوعات پیشرفته: افرازهای مجموعه‌ها، ضرایب چندجمله‌ای، اعداد استرلینگ و گروه مسائل Twelvefold Way
• انواع مختلف اثبات برای همانی‌های دوجمله‌ای: اثبات مستقیم، استفاده از قضیه دوجمله‌ای، اثبات با استقرا، اثبات با جمع‌های تلسکوپی واثبات‌های ترکیبیاتی
• یک مقدمه بسیار کوتاه درباره احتمال (گسسته)، همراه با چند مثال رایج از آزمایش‌هایی مانند انداختن سکه و پرتاب تاس - احتمال در پوکر
• برخی مفاهیم پایه در احتمال: آزمایش، نتیجه، فضای نمونه، رویداد و رویداد مطلوب
• ترکیب رویدادها (اجتماع و اشتراک رویدادها)، رویدادهای ناسازگار و رویداد متمم
• رویدادهای مستقل و وابسته و احتمال شرطی
• متغیر تصادفی و امید ریاضی آن (فقط به اندازه‌ای که برای مسئله منشی لازم است)
• مفاهیم پایه در نظریه اعداد: اعداد اول و مرکب، بخش‌پذیری، ب.م.م و ک.م.م، خارج‌قسمت و باقیمانده
• الگوریتم اقلیدس برای چند منظور (یافتن ب.م.م و ک.م.م، حل معادلات دیوفانتی و حل معادلات خطی در حساب پیمانه‌ای [S6] و غیره)
• فرمول مجموع همه مقسوم‌علیه‌ها (بر پایه تجزیه به عوامل اول)
• تابع فی اویلر (تعداد اعداد طبیعی کوچک‌تر از n که با n نسبت به هم اول‌اند)
• نمایش عدد در دستگاه‌های موضعی مختلف (ده‌دهی، دودویی و غیره)
• حساب پیمانه‌ای، شمارش پیمانه‌ی n و آشنایی با حلقه‌های Z_n
• ویژگی‌های گوناگون حساب پیمانه‌ای و حل معادلات هم‌نهشتی ساده
• آزمون‌های بخش‌پذیری (بر 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15 و 16)
• قضیه کوچک فرما با 4 اثبات (که یکی از آن‌ها واقعاً دل‌انگیز است)
• قضیه فی اویلر به‌عنوان تعمیمی از قضیه کوچک فرما
• آشنایی اولیه با ساختارهای جبری اصلی (گروه‌ها، حلقه‌ها، میدان‌ها و فضاهای برداری) همراه با چند مثال زیبا با نظریه S5 و S6
• نمونه‌هایی از عملگرهای دوتایی شرکت‌پذیر و جابجایی‌پذیر که روی مجموعه‌های مختلف تعریف شده‌اند و همچنین چند نمونه از عملگرهایی که این ویژگی‌ها را ندارند.
• مفهوم زیرگروه و گروه چرخه‌ای همراه با چند مثال حسابی و هندسی
• مفهوم همریختی و هم‌ریختی با چند مثال، ویژگی‌های همریختی‌ها و گروه‌های هم‌ریخت
• عناصر وارون‌پذیر در Z_n؛ میدان‌های Z_p با جمع و ضرب پیمانه p و گروه واحدها U_n
• آشنایی با گروه‌های (متقارن) جایگشت‌ها و زیرگروه‌های آن‌ها و ضرب جایگشت‌ها
• قضیه لاگرانژ در پایان دوره، بسیاری از عناصر DM را کنار هم قرار می‌دهد: گروه‌ها، نظریه اعداد، روابط هم‌ارزی و افرازهای مجموعه‌ها
• حاصل‌ضرب مستقیم چند حلقه‌ی Z_n و یک هم‌ریختی طبیعی بین این حلقه و Z_N: آشنایی با قضیه باقی‌مانده چینی (برنامه‌ریزی‌شده برای DM3).
• چند مثال هندسی (گروه‌های دووجهی: ایزومتری‌های یک مثلث متساوی‌الاضلاع و ایزومتری‌های یک مربع)
• این دوره شامل مجموعه‌ای از مسائل واقعاً سرگرم‌کننده (در سبک مسابقات ریاضی) است - عمدتاً در بخش 6

پیش‌نیازهای دوره

• ریاضیات پایه دبیرستان (عمدتاً حسابان)
• ریاضیات گسسته 1 (یا معادل آن: منطق، مجموعه‌ها، توابع، روابط، تکنیک‌های اثبات و ترکیبیات اولیه)

توضیحات دوره

S1. آشنایی با دوره

آنچه یاد خواهید گرفت:

درباره این دوره، محتوای آن و بهترین روش مطالعه آن همراه با کتاب

S2. ترکیبیات: هنر شمارش، ادامه از ریاضیات گسسته 1

آنچه یاد خواهید گرفت:

ادامه موضوعاتی که در ریاضیات گسسته 1 شروع شدند (جایگشت‌ها، واریاسیون‌ها، ترکیب‌ها و مدل‌سازی ریاضی)، چند موضوع جدید (برخی مسائل باقی‌مانده از ریاضیات گسسته 1، شمارش توابع، شمارش جواب‌های صحیح معادلات، تعمیمی از اصل شمول و عدم‌شمول و شمارش پریش‌ها) و آشنایی با برخی موضوعات پیشرفته (افرازها، ضرایب چندجمله‌ای، اعداد استرلینگ و Twelvefold Way) و حل مسائل ترکیبیاتی

S3. اثبات‌های ترکیبیاتی (و نه فقط ترکیبیاتی)

آنچه یاد خواهید گرفت:

انواع مختلف اثبات برای همانی‌های دوجمله‌ای، از جمله اثبات مستقیم، اثبات با استقرا، اثبات با جمع‌های تلسکوپی و اثبات‌های ترکیبیاتی، این موضوع پیش‌تر در ریاضیات گسسته 1 آغاز شده بود، اما اکنون نمونه‌های بیشتری از آن را خواهید دید.

S4. یک مقدمه بسیار کوتاه درباره احتمال (گسسته)

آنچه یاد خواهید گرفت:

چگونه می‌توان از ترکیبیات در احتمال (گسسته) استفاده کرد، این آموزش یک دوره رسمی درباره احتمال نیست، بلکه فقط نمایشی از کاربرد برخی روش‌های ترکیبیاتی برای محاسبه‌ی احتمال رویدادهاست؛ برخی مفاهیم که به‌اختصار در درس‌ها پوشش داده می‌شوند، آزمایش، نتیجه، فضای نمونه، رویداد، رویداد مطلوب (همه این‌ها پیش‌تر در V9 پوشش داده شده بودند و اینجا مثال‌های بیشتری درباره انداختن سکه، پرتاب تاس، بیرون کشیدن توپ از کوزه و بازی پوکر می‌بینید)، ترکیب رویدادها (اجتماع و اشتراک رویدادها)، رویدادهای ناسازگار، رویدادهای متمم، رویدادهای مستقل و وابسته، احتمال شرطی، متغیر تصادفی و امید ریاضی آن (فقط به اندازه‌ای که وعده V49 و V59 را برآورده کند).

S5. آشنایی با نظریه اعداد

آنچه یاد خواهید گرفت:

بخش‌پذیری، تجزیه به عوامل اول، یافتن اعداد اول (غربال اراتوستن)، الگوریتم اقلیدس برای چند منظور (یافتن ب.م.م [بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک] و ک.م.م [کوچک‌ترین مضرب مشترک] دو عدد طبیعی، حل معادلات دیوفانتی و حل معادلات خطی در حساب پیمانه‌ای [در بخش 6])، تابع فی اویلر، فرمول مجموع همه مقسوم‌علیه‌ها، نمایش عدد در دستگاه‌های موضعی مختلف (ده‌دهی، دودویی و غیره)، تبدیل اعداد از ده‌دهی به پایه‌های دیگر (و برعکس). این آموزش یک دوره کامل درباره نظریه اعداد نیست (که شاخه‌ای بسیار بزرگ از ریاضیات است!)، بلکه فقط مقدمه‌ای اولیه درباره برخی از موضوعات آن است؛ موضوعاتی که معمولاً بخشی از دوره‌های ریاضیات گسسته هستند.

S6. حساب پیمانه‌ای

آنچه یاد خواهید گرفت:

مبانی حساب پیمانه‌ای، جمع، تفریق، ضرب، توان‌رسانی؛ ویژگی‌های حساب پیمانه‌ای؛ رابطه هم‌نهشتی پیمانه n به‌عنوان یک رابطه هم‌ارزی، کلاس‌های هم‌ارزی و نماینده‌های آن‌ها؛ آزمون‌های بخش‌پذیری (بر 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15 و 16)؛ حل هم‌نهشتی‌ها، دستگاه‌های هم‌نهشتی (با اشاره به قضیه باقی‌مانده چینی)، معادلات خطی و دستگاه‌های معادلات خطی در Z_n برای اعداد n مختلف؛ قضیه کوچک فرما با چندین اثبات که یکی از آن‌ها واقعاً هیجان‌انگیز است (ترکیبیاتی)؛ قضیه فی اویلر؛ برخی مسائل قبلی دوباره بررسی و با روش‌های جدید حل می‌شوند.

S7. آشنایی با ساختارهای جبری

آنچه یاد خواهید گرفت:

بررسی اجمالی دنیای شگفت‌انگیز جبر مجرد، شاخه‌ای از ریاضیات که ساختارهایی مانند گروه‌ها، حلقه‌ها، میدان‌ها، فضاهای برداری و غیره، ویژگی‌های آن‌ها و روابط میانشان را مطالعه می‌کند؛ مفاهیم اولیه مانند عملگرهای دوتایی روی مجموعه‌ها، شرکت‌پذیری و جابجایی‌پذیری آن‌ها، عناصر خنثی و عناصر وارون نسبت به عملگرها؛ مجموعه‌هایی با 2 عملگر (حلقه‌ها، میدان‌ها) و ویژگی که این عملگرها را به هم پیوند می‌دهد (توزیع‌پذیری)، وارون‌های جمعی و ضربی، مفهوم زیرگروه، گروه‌های چرخه‌ای، حاصل‌ضرب مستقیم (دکارتی) ساختارها، گروه‌های جایگشت‌ها و تفسیر هندسی برخی از زیرگروه‌های آن‌ها، همریختی‌ها و هم‌ریختی‌ها بین ساختارها، قضیه لاگرانژ مثال‌ها و تصویرسازی‌های گوناگون

نکته: این بخش دوم از سه‌گانه ریاضیات گسسته است. موضوعات زیر در دوره بعدی پوشش داده خواهند شد:

• دنباله‌ها (بازگشت‌ها، توابع مولد و غیره)، آشنایی با نظریه گراف و کاربردهای منتخب ریاضیات گسسته

حتماً با استاد خود بررسی کنید که برای امتحان نهایی به کدام بخش‌های دوره نیاز خواهید داشت. این موارد از کشوری به کشور دیگر، از دانشگاهی به دانشگاه دیگر، و حتی از سالی به سال دیگر در همان دانشگاه فرق می‌کنند.

توضیحی دقیق از محتوای دوره، همراه با هر 222 ویدئو و عنوان‌های آن‌ها و نیز متن همه 412 مسئله حل‌شده در این دوره، در فایل منبع «001 List_of_all_Videos_and_Problems_Discrete_Mathematics_2.pdf» تحت ویدئوی 1 (آشنایی با دوره) ارائه شده است. این محتوا نیز در ویدئوی 1 ارائه می‌شود.

این دوره برای چه کسانی مناسب است؟

• دانشجویانی که قصد دارند ریاضیات را در سطح کالج یا دانشگاه بخوانند و می‌خواهند برای موفقیت، بلوغ ریاضی بیشتری بدست آورند.
• دانش‌آموزان دبیرستانی که به ریاضیات دانشگاهی علاقه‌مندند.
• همه کسانی که به دنبال یادآوری ریاضیات دبیرستانی خود و کسب درک عمیق‌تری از این موضوع هستند.
• دانشجویان کالج و دانشگاه که درس‌های پیشرفته را می‌خوانند و می‌خواهند همه جزئیاتی را که شاید در آموزش‌های قبلی از دست داده‌اند، درک کنند.
• دانشجویانی که برای علوم کامپیوتر، هوش مصنوعی، یادگیری ماشین، یا حوزه‌های دیگر نیازمند به ریاضیات، به ریاضی احتیاج دارند.