صفر تا بی‌نهایت: تاریخچه اعداد با پروفسور ادوارد بی. برگر

اعداد ما را احاطه کرده‌اند. آن‌ها روزهای ما را نشانه‌گذاری می‌کنند، شب‌هایمان را روشن می‌سازند، آب‌وهوای ما را پیش‌بینی می‌کنند و ما را در مسیر درست نگه می‌دارند. آن‌ها موتور محرک تجارت هستند و تمدن را سرپا نگه می‌دارند. اما آن‌ها چه هستند؟ چه با جبر دست‌وپنج نرم کرده باشید و چه در رشته ریاضی تحصیل کرده باشید، رویکرد پروفسور Edward B. Burger را قابل‌فهم و برانگیزنده خواهید یافت. اگر فکر می‌کنید ریاضیات فقط مسئله و فرمول است، آماده باشید که شگفت‌زده شوید.

در این دوره، تصویری از مفهومِ همواره در حال تکاملِ "عدد" ترسیم خواهد شد — و به این درک خواهیم رسید که تعریف دقیق مفهوم عدد، ایده‌ای دشوار و شاید غیرممکن است. تمرکز این دوره بر دو محور اصلی خواهد بود: تکامل تاریخی نمایش اعداد برای ارتباط و محاسبات ("اعداد در زندگی")، و ساختار ذاتی آن اعداد ("زندگی اعداد"). در طول دوره خواهیم دید که این دو دیدگاه به‌صورت هم‌افزا به یکدیگر اطلاعات می‌دهند و اجازه می‌دهند درک ما همگام با خودِ اعداد رشد و تکامل یابد. در حالی که این دو دیدگاه و ارتباط متقابل آن‌ها بررسی می‌شود، تم تکرارشونده‌ی تاریخی عدد به عنوان وسیله‌ای برای شمارش، تعیین مقدار، اندازه‌گیری و مقایسه نیز ارائه خواهد شد و به طرز شگفت‌آوری، تمام شهود ما درباره این مفاهیم اولیه به چالش کشیده خواهد شد.

01: مفهوم همواره در حال تکامل عدد

با اینکه اعداد نماد دقت هستند، تعریف دقیق "عدد" گریزان است، زیرا هنوز در حال تکامل است. این دوره روند پیشرفت در درک و استفاده از اعداد را دنبال می‌کند و همچنین کشفیاتی را که درک ما از عدد را پیش برده‌اند، بررسی می‌نماید. با متفکران بزرگی که این کشفیات را انجام دادند آشنا خواهیم شد - از دوستان قدیمی، فیثاغورس و اقلیدس، تا نوابغ مدرن‌تر اما به همان اندازه درخشان، اویلر، گاوس و کانتور.

02: طلوع اعداد

یکی از اولین سوالات این بود: "چه تعداد؟" انسان‌ها هزاران سال است که به این سوال پاسخ می‌دهند - از زمانی که چوپانان سومری از سنگ‌ریزه برای آمارگیری گوسفندانشان استفاده می‌کردند، تاجران بین‌النهرین حساب‌های خود را روی لوح‌های گلی نگه می‌داشتند، و داریوش هخامنشی از طناب گره‌دار به عنوان تقویم استفاده می‌کرد.

03: سخن گفتن به زبان اعداد

همگام با مفید واقع شدن اعداد برای شمارش و ثبت و همچنین محاسبه و پیش‌بینی، بسیاری از جوامع، از جمله سومری‌ها، مصری‌ها، مایاها و چینی‌ها، سیستم‌های عددی پیچیده‌ای اختراع کردند؛ و حساب توسعه یافت. اعداد منفی، اعداد عربی، ضرب و تقسیم، عدد را به حوزه‌ای برای مطالعه انتزاعی و خلاقانه و همچنین استفاده روزمره تبدیل کردند.

04: ارقام دراماتیک—قدرت صفر

زمانی که محاسبات اهمیت بیشتری یافت، پیشرفت مهمی حاصل شد. سیستم‌های عددی افزایشی و دشوار، مانند میخ‌های بابلی و اعداد رومی، جای خود را به سیستم‌های فشرده مبتنی بر مکان (ارزش مکانی) دادند. این سیستم‌ها، که شامل سیستم مدرن مبنای 10 که امروزه استفاده می‌کنیم می‌شود، ریاضیات مدرن را امکان‌پذیر ساختند.

05: جذابیت جادویی و معنوی اعداد

وقتی اعداد از ابزار به شاخه‌ای از یادگیری تبدیل شدند، قدرت و رازآلودگی پیدا کردند. برای مثال، بین‌النهرینی‌ها از اعداد برای نام‌گذاری خدایان خود استفاده می‌کردند، در حالی که فیثاغورسیان معتقد بودند که اعداد هدایای الهی هستند. انسان‌ها هزاران سال است که به قدرت اعداد متوسل شده‌اند تا بدشانسی را دفع کنند، خوش‌شانسی را جذب کنند و کنجکاوان را سرگرم نمایند - کاربردهایی که برخی را به کاوش در ویژگی‌های جدی‌تر و ظریف‌تر اعداد سوق داده است.

06: اعداد طبیعت—الگوهای بدون انسان

کسانی که آن‌ها را مطالعه کردند، اعداد را فریبنده یافتند و زود دریافتند که ساختار، الگو و زیبایی عددی خیلی پیش از آنکه اجداد ما اعداد را نام‌گذاری کنند، وجود داشته است. در این درس، مطالعات ما درباره الگو و ساختار در طبیعت، ما را به اعداد فیبوناچی و ارتباط آن‌ها با نسبت طلایی که قرن‌ها پیش توسط فیثاغورسیان مطالعه شده بود، می‌رساند.

07: اعدادی با اهمیت ویژه (اعداد اول)

اکنون اعداد اول را مطالعه می‌کنیم، بلوک‌های سازنده تمام اعداد طبیعی (شمارشی) بزرگتر از 1. این حوزه از تحقیق به یونان باستان بازمی‌گردد، جایی که اقلیدس با استفاده از یکی از ظریف‌ترین استدلال‌ها در تمام ریاضیات، ثابت کرد که بی‌نهایت عدد اول وجود دارد. برخی از سوالات بزرگ درباره اعداد اول هنوز بی‌پاسخ مانده‌اند؛ مطالعه اعداد اول یک حوزه فعال پژوهشی است که به عنوان نظریه تحلیلی اعداد شناخته می‌شود.

08: به چالش کشیدن گویایی اعداد

بابلی‌ها و مصری‌ها شاید از اوایل سال 2000 قبل از میلاد از اعداد گویا، که بیشتر به عنوان کسر شناخته می‌شوند، استفاده می‌کردند. فیثاغورسیان معتقد بودند که اعداد گویا و طبیعی امکان اندازه‌گیری تمام طول‌های ممکن را فراهم می‌کنند. وقتی فیثاغورسیان با طول‌هایی مواجه شدند که به این روش قابل اندازه‌گیری نبودند، اعداد گنگ متولد شدند و دنیای اعداد گسترش یافت.

09: قدم زدن روی خط (اعداد)

ما درباره اعداد طبیعی، اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد گنگ آموخته‌ایم. در این درس، با اعداد حقیقی مواجه خواهیم شد، یک مفهوم گسترش‌یافته از عدد. یاد خواهیم گرفت که چه چیزی اعداد گویا را در درون اعداد حقیقی متمایز می‌کند، و همچنین ثابت خواهیم کرد که اعشار بی‌پایان ...0.9999 دقیقاً برابر با 1 است.

10: هرج‌وجمرج عادی در میان اعداد حقیقی

اعداد گویا و گنگ تفاوت تعیین‌کننده‌ای دارند که ما را به یک نتیجه‌گیری شهودی و صحیح، و به درکی جدید درباره اینکه اعداد گویا و گنگ واقعاً چقدر رایج هستند، هدایت می‌کند. بررسی اعداد حقیقی تصادفی در مبنای 10، ما را با اعداد "نرمال" آشنا می‌کند و نشان می‌دهد که "تقریباً تمام" اعداد حقیقی نرمال هستند و "تقریباً تمام" اعداد حقیقی، در واقع، گنگ هستند.

11: گردی زیبا از صفرها و دوها

در مبنای 3، اعداد حقیقی ساختاری عمیق‌تر و شگفت‌انگیزتر را آشکار می‌کنند، و ما می‌توانیم مجموعه‌ای مشهور و به شدت چالش‌برانگیز از اعداد حقیقی را شناسایی و تجسم کنیم - مجموعه کانتور که اولین بار توسط ریاضیدان آلمانی، گئورگ کانتور، در سال 1883 توصیف شد.

12: اقامتی شهودی در حساب

ما با یک مرور تاریخی بر جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توان‌رسانی آغاز می‌کنیم، که در طی آن ثابت خواهیم کرد چرا حاصل‌ضرب یک عدد منفی در یک عدد منفی برابر با یک عدد مثبت می‌شود. ما پنج اصل مشترک اقلیدس را بازبینی خواهیم کرد (با توجه به اینکه در درس 11 یاد گرفتیم یکی از این اصول همیشه صادق نیست)، و خواهیم دید وقتی یک عدد را به توان کسری یا گنگ می‌رسانیم چه اتفاقی می‌افتد.

13: داستان عدد پی 

پی (Pi) یکی از مشهورترین اعداد در تاریخ است. بابلی‌ها تا سال 1800 قبل از میلاد آن را تقریب زده بودند و کامپیوترها آن را تا تریلیون‌ها رقم محاسبه کرده‌اند، اما خواهیم دید که سوالات مهمی درباره این عدد شگفت‌انگیز بی‌پاسخ مانده است.

14: داستان عدد "e" اویلر

در مقایسه با پی، "e" تازه وارد است، اما به سرعت به عدد مهم دیگری در ریاضیات و علم تبدیل شد. این عدد که اکنون به عنوان عدد اویلر شناخته می‌شود، برای درک رشد اساسی است. این درس تکامل "e" را دنبال می‌کند.

15: اعداد متعالی

پی و "e" ما را به دنیای مرموز اعداد متعالی می‌برند، جایی که تفاوت آن‌ها را با اعداد جبری، که از زمان بابلی‌ها شناخته شده‌اند، خواهیم آموخت.

16: رویکردی جبری به اعداد

این بخش از دوره ما را دعوت می‌کند تا دو دیدگاه نسبت به عدد داشته باشیم: جبری و تحلیلی. دیدگاه جبری ما را به اعداد موهومی می‌برد، در حالی که دیدگاه تحلیلی حس ما را نسبت به معنای عدد به چالش می‌کشد.

17: پنج عدد بسیار مهم

نگاه هندسی به اعداد مختلط راهی را نشان می‌دهد تا پنج عدد مهم در ریاضیات: 0، 1، پی، "e" و "i" را از طریق زیباترین معادله در ریاضیات، یعنی اتحاد اویلر، به هم متصل کنیم.

18: رویکردی تحلیلی به اعداد

ما اعداد حقیقی را از دیدگاه دیگری بررسی خواهیم کرد: رویکرد تحلیلی، که از فاصله بین اعداد برای کشف و پر کردن حفره‌های روی خط اعداد گویا استفاده می‌کند. این کاوش منجر به نوع جدیدی از قدر مطلق بر اساس اعداد اول می‌شود.

19: نژاد جدیدی از اعداد

فیثاغورسیان اعداد گنگ را نه تنها خلاف شهود، بلکه تهدیدی برای جهان‌بینی خود می‌دانستند. در این درس، با اعدادی آشنا می‌شویم و از آن‌ها استفاده می‌کنیم که ممکن است به همان اندازه عجیب بیابیم: اعداد p-adic. ما روش جدیدی برای نگاه به عدد، و لنزی را خواهیم شناخت که از طریق آن تمام مثلث‌ها متساوی‌الساقین می‌شوند.

20: مفهوم اعداد ترامتناهی

اگرچه به نظر می‌رسد که ما به تمام دنیاهای ممکن اعداد نگاه کرده‌ایم، اما به زودی درمی‌یابیم که این دنیاها به روی جهانی از اعداد باز می‌شوند. در این درس، نه تنها یاد می‌گیریم که انسان‌ها چگونه به مفهوم بی‌نهایت رسیدند، بلکه می‌آموزیم چگونه بی‌نهایت‌ها را مقایسه کنیم.

21: مجموعه‌هایی بیش از حد بی‌نهایت برای شمارش

اکنون که با فکر کردن درباره بی‌نهایت راحت هستیم، با دقت بیشتری به مجموعه‌های مختلف اعداد نگاه خواهیم کرد و در نتیجه کشف می‌کنیم که بی‌نهایت حداقل در دو اندازه وجود دارد.

22: درون و بیرون—راهی به سوی سومین بی‌نهایت

اگر بی‌نهایت در دو اندازه وجود دارد، آیا در سه اندازه هم هست؟ ما از نظریه مجموعه‌ها استفاده خواهیم کرد تا بفهمیم چگونه ممکن است باشد. سپس این بینش را روی مجموعه‌های نامتناهی نیز اعمال خواهیم کرد، فرآیندی که ما را به نوع سوم بی‌نهایت هدایت می‌کند.

23: بی‌نهایت—آنچه می‌دانیم و آنچه نمی‌دانیم

اگر چندین اندازه از بی‌نهایت وجود دارد، آیا بی‌نهایت اندازه از آن وجود دارد؟ آیا بزرگترین بی‌نهایت وجود دارد؟ و آیا اندازه‌ای از بی‌نهایت بین بی‌نهایت اعداد طبیعی و اعداد حقیقی وجود دارد؟ ما به دو مورد از این سوالات پاسخ خواهیم داد و یاد می‌گیریم چرا پاسخ سوال دیگر از نظر ریاضی نه قابل اثبات است و نه قابل رد.

24: مرز بی‌پایان اعداد

اکنون که جهان اعداد را پیموده‌ایم، می‌توانیم به عقب نگاه کنیم و بفهمیم که ایده عدد چگونه تغییر کرده و تکامل یافته است. در این درس، حسی از اینکه ریاضیدانان چگونه مرزهای عدد را گسترش می‌دهند به دست خواهیم آورد و به چند سوال که نظریه‌پردازان اعدادِ امروز را مشغول کرده است نگاهی خواهیم انداخت - فرضیه ریمان و تجزیه اعداد اول.