حساب دیفرانسیل و انتگرال 2 - بخش 2 - دنباله‌ها و سری‌ها

آنچه یاد خواهید گرفت:

• چگونه مسائل مربوط به دنباله‌ها و سری‌ها را حل کنید (با مثال 378 حل شده) و چرا این روش‌ها کار می‌کنند؟
• روش‌های مختلف تعریف دنباله‌های عددی - با کمک تعریف توصیفی، فرمول صریح (بسته) یا تعریف بازگشتی
• حدهای دنباله‌های عددی، هم محدود و هم بی‌نهایت (تکرار و ادامه مبحثی که در بخش یک دوره معرفی شد).
• عملیات‌ها روی اعداد در مجموعه‌های بی‌نهایت محدود (تکرار و ادامه مبحثی که در بخش یک دوره معرفی شد).
• مواجهه با عبارات نامعین (تکرار و ادامه مبحثی که در بخش یک دوره معرفی شد).
• حساب روی اعداد حقیقی توسعه‌ یافته (تکرار و ادامه مبحثی که در بخش یک دوره معرفی شد).
• بررسی فرم‌های نامعین (تکرار و ادامه مبحثی که در بخش یک دوره معرفی شد).
• حدهای استاندارد، مقایسه بی‌نهایت‌ها (تکرار و ادامه مبحثی که در بخش یک دوره معرفی شد).
• قضیه فشردگی برای دنباله‌ها (تکرار و ادامه مبحثی که در بخش یک دوره معرفی شد).
• قضیه وایرشتراس برای دنباله‌ها (تکرار و ادامه مبحثی که در بخش یک دوره معرفی شد).
• توابع تعریف شده برای همه‌ آرگومان‌های مثبت و نقش آنها در بررسی دنباله‌ها عددی (یکنوایی و حدها)
• حل روابط بازگشتی - فرمول بسته برای وقوع‌های خطی مرتبه دو (با یا بدون شرطی‌های اولیه)
• قضیه استولز-چسارو برای محاسبه حدهای عبارات نامعین
• آزمون نسبت برای دنباله‌ها جهت تعیین همگرایی یا واگرایی
• قضیه کوشی (همگرایی میانگین حسابی دنباله‌ همگرا)
• نامعادله AM-GM - همگرایی میانگین‌های هندسی دنباله‌ همگرا
• بررسی تفاوت‌های اعضای متوالی دنباله‌ (a_n) برای تعیین همگرایی n-ام ریشه‌های a_n
• بررسی نسبت‌های اعضای متوالی دنباله‌ (a_n) برای تعیین همگرایی یا واگرایی ریشه‌های n‌ ام a_n
• برخی کاربردهای دنباله‌ها (گسسته‌سازی، تقریب‌سازی) و دنباله‌ها در دروس دیگر
• دنباله‌های کوشی و کامل بودن مجموعه اعداد حقیقی - قضیه بولزانو-وایراشتراس
• سری‌ها - حدهای مجموع جزئی دنباله‌ها - تعریف و مثال‌ها
• سری‌های همگرا و واگرا - مثال‌های ساده و پیشرفته
• سری‌های حسابی و هندسی و همگرایی آنها
• سری‌های p و رابطه آنها با انتگرال‌های p و بحث درباره همگرایی آنها
• معیارهای مقایسه برای سری‌ها
• آزمون انتگرال برای سری‌ها
• آزمون نسبت برای سری‌ها
• آزمون ریشه برای سری‌ها
• دنباله‌های توابع عددی حقیقی (معرفی مختصر)
• سری‌های توابع عددی (معرفی مختصر)
• سری‌های توانی و شعاع همگرایی آنها
• چندجمله‌‌ای‌های تیلور، سری‌های تیلور و توابع هموار
• کاربردهای چندجمله‌ای‌های تیلور جهت تقریب مقادیر توابع
• کاربردهای چندجمله‌ای‌های تیلور در محاسبه حدهای عبارات نامعین
• نگاهی به محتوای دوره بعدی با عنوان آنالیز حقیقی - فضاهای متریک

پیش‌نیازهای دوره

• حساب دیفرانسیل و انتگرال 1 - حدها و پیوستگی (یا معادل)
• حساب دیفرانسیل و انتگرال 1 - مشتقات و کاربردهای آنها (یا معادل)
• حساب دیفرانسیل و انتگرال 1 - انتگرال‌ها و کاربردهای آنها (یا معادل)

توضیحات دوره

حساب دیفرانسیل و انتگرال 2 - بخش 2 - دنباله‌ها و سری‌ها

حساب دیفرانسیل و انتگرالتک متغیره

آشنایی با دوره

در این بخش درباره محتوای دوره و لیستی از ویدئوهای دوره‌های قبلی که درباره مباحث کنونی (دنباله‌ها و سری‌ها) بحث شده است، آشنا می‌شوید.

دنباله‌های عددی - ادامه‌ بخش یک دوره

شما مفاهیم اولیه دنباله‌های عددی، پس از معرفی در بخش یک دوره (قسمت 5) را یاد می‌گیرید. در این بخش چند نکته اساسی، از جمله مفهوم دنباله و حد آن، قوانین اولیه برای محاسبه حدهای عبارات ثابت و نامعین را مجدد بررسی می‌کنیم. این مفاهیم مرور می‌شوند و مثال‌های بیشتری از مسائل حل‌ شده ارائه می‌شود.

 قضیه وایرشتراس - ادامه‌ بخش یک دوره

شما ادامه بحث درباره دنباله‌های مانتیون و همگرایی آنها را یاد می‌گیرید. ابزار اصلی این بخش قضیه وایرشتراس است، که به آن «قضیه همگرایی مانتیون» نیز گفته می‌شود؛ پس از تکرار مفاهیم اساسی، مثال‌های زیاد حل شده ارائه می‌شود که موضوع را عمیق‌تر نشان می‌دهد.

استفاده از توابع هنگام کار با دنباله‌ها

در این بخش به مطالب جدید می‌پردازیم؛ رویکرد تابعی به دنباله‌ها که در بخش یک دوره امکان مطالعه آن نبود، چون بخش دنباله‌ها قبل از بخش توابع مطرح شد. شما در زمینه حدها و پیوستگی، نحوه استفاده از نظریه توسعه یافته برای توابع (مشتقات، قاعده لاهپیتال و غیره) می‌آموزید.

قضایای جدید و آزمون‌های همگرایی دنباله‌ها

شما انواع آزمون‌هایی که در محاسبه حدهای دنباله‌ها کمک می‌کنند: قضیه استولز-چسارو و نتایج آن و آزمون نسبت برای دنباله‌ها را یاد می‌گیرید. در این قسمت قضایا را اثبات می‌کنیم، محتواشان را شرح می‌دهیم و در مثال‌های مختلف به کار می‌بریم.

حل روابط بازگشتی

شما حل روابط بازگشتی خطی مرتبه دو (یک مقدمه و در ادامه در ریاضیات گسسته پوشش داده می‌شود) را یاد می‌گیرید.

کاربردهای دنباله‌ها و مسائل بیشتر برای حل کردن

شما کاربردهای گوناگون دنباله‌ها و مسائل پیچیده‌تر که مربوط به دنباله‌ها هستند و قبلاً ندیدید را یاد می‌گیرید. بعضی از این مسائل واقعاً چالش‌برانگیز هستند.

دنباله‌های کوشی و مجموعه اعداد حقیقی

شما مطالب بیشتری نسبت به بخش یک دوره، مانند رابطه میان یکنوایی، محدودیت‌ و همگرایی دنباله‌های عددی، دنباله‌های فرعی و حدهای آنها، حد بالا و حد پایین، قضیه بولزانو-وایرشتراس، دنباله‌های اساسی (با ویژگی کوشی)، محدودیت و همگرایی‌ آنها، ساخت مجموعه اعداد حقیقی با استفاده از کلاس‌های معادل از دنباله‌های اساسی اعداد گویا و تعریف فضاهای متریک کامل را یاد می‌گیرید.

سری‌های عددی - مقدمه کلی

شما درباره سری‌ها، تعریف و تفسیرشان، مثال‌های زیادی از سری‌های همگرا و واگرا (سری هندسی، سری حسابی، سری p، سری‌ تلسکوپی و سری‌های تناوبی)، همچنین نحوه تعیین مجموع سری در برخی موارد را خواهید آموخت. سپس این سری‌ها را برای تشخیص همگرایی یا واگرایی سری‌های دیگر استفاده می‌کنیم که سخت‌تر هستند.

سری‌های عددی - آزمون‌های زیاد، تمرین‌های بیشتر

شما انواع آزمون‌ها برای همگرایی سری‌های عددی (چرا کار می‌کنند و چگونه استفاده می‌شوند)، آزمون مقایسه، آزمون مقایسه‌ حد، آزمون نسبت (دالامبرت)، آزمون ریشه (کوشی) و آزمون انتگرال را یاد می‌گیرید.

عملیات‌های مختلف روی سری‌ها

شما نحوه کار قوانین محاسباتی استاندارد مانند جابجایی و شرکت‌پذیری برای سری‌ها، ضرب کوشی سری‌ها، باقیمانده‌ها و نقش آنها در تقریب مجموع یک سری را یاد می‌گیرید.

دنباله‌های توابع (مقدمه بسیار کوتاه)

یک معرفی کوتاه از مبحث دنباله‌های توابع، در «آنالیز حقیقی - فضاهای متریک» پوشش داده می‌شود. مفاهیم همگرایی نقطه‌ای و همگرایی یکنواخت به طور مختصر معرفی و با یک مثال نشان داده می‌شود. این مفاهیم در «آنالیز حقیقی - فضاهای متریک» بیشتر توسعه می‌یابند.

سری بی‌نهایت توابع (مقدمه‌ای بسیار کوتاه)

شما مقدمه‌ای بسیار کوتاه در مورد مبحث سری توابع خواهید داشت که فقط برای معرفی مبحث سری‌های توانی در بخش بعدی کافی است.

سری‌های توانی و ویژگی‌های آنها

شما مفهوم سری توانی و روش‌های مختلف تفکر در مورد این مبحث، شعاع همگرایی، عملیات‌های حسابی روی سری‌های توانی (جمع، تفریق، مقیاس‌بندی، ضرب)، چند کلمه در مورد مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری از سری‌های توانی جمله به جمله (اختیاری)را یاد خواهید گرفت.

سری تیلور و مباحث مرتبط - ادامه‌ای از بخش دو دوره

شما (ادامه‌ حساب دیفرانسیل و انتگرال - بخش 1 - مشتقات با کاربردها) چندجمله‌ای‌های تیلور و مک‌لورن (و سری‌ها) از توابع هموار، کاربردهایی در محاسبه حدهای عبارات نامعین و تقریب اعداد را یاد خواهید گرفت

مطمئن شوید که با مدرس خود چک می‌کنید که برای آزمون پایان ترم خود به چه بخش‌هایی از دوره نیاز خواهید داشت. چنین مواردی از کشوری به کشور دیگر، از دانشگاهی به دانشگاه دیگر و حتی از سالی به سال دیگر در یک دانشگاه متفاوت است.

شرح دقیقی از محتوای دوره، به همراه تمام 272 ویدئو و عناوین آنها و متن تمام 378 مسئله حل شده در طول دوره، در فایل منبع ارائه شده است.

این دوره برای چه کسانی مناسب است؟

• دانشجویان دانشگاه و کالج که مایل به یادگیری حساب دیفرانسیل و انتگرال تک متغیره (یا آنالیز حقیقی) هستند.
• دانش‌آموزان دبیرستانی که در مورد ریاضیات دانشگاهی کنجکاو هستند. این دوره برای خرید توسط بزرگسالان برای این دانش‌آموزان در نظر گرفته شده است.