حساب دیفرانسیل و انتگرال چندمتغیره و مسائل فیزیک کلاسیک

آنچه یاد خواهید گرفت:

• درک شهودی حساب دیفرانسیل و انتگرال چندمتغیره با استفاده از ریاضیات
• قضیه دیورژانس و نحوه اثبات آن
• قضیه استوکس و نحوه اثبات آن
• انتگرال چندگانه
• انتگرال‌های خطی
• انتگرال‌های سطحی
• مشتق‌گیری ژاکوبی
• چگونه با مسائل سطح کارشناسی در مکانیک کلاسیک برخورد کنیم؟
• انرژی جنبشی اجسام سخت
• چگونه با چارچوب مرجع غیرلخت برخورد کنیم؟
• چگونه سرعت زاویه‌ای یک جسم سخت را محاسبه کنیم؟
• چگونه فرکانس نوسانات کوچک را محاسبه کنیم؟
• چگونه دینامیک اجسام سخت را تحلیل کنیم؟
• چگونه ماتریس اینرسی و ممان اینرسی را محاسبه کنیم؟
• چگونه یک لاگرانژی در مکانیک کلاسیک بسازیم؟
• اهمیت فرمالیسم لاگرانژی
• چگونه از تابع همیلتونی (انرژی سیستم) مشتق بگیریم؟

پیش‌نیازهای دوره

• حساب دیفرانسیل و انتگرال تک‌متغیره

توضیحات دوره

در بخش اول دوره، حساب دیفرانسیل و انتگرال چندمتغیره بر مبنای درک مفاهیم کلیدی، نه فقط حفظ کردن فرمول‌ها و تمرین‌ها به صورت حفظی، توضیح داده می‌شود. هدف اصلی دوره، استنتاج ریاضی و فرآیند استدلال است، تا دانشجو بتواند از ریاضیات برای حل مسائل، نه فقط محاسبات ساده، استفاده کند. علاوه بر این، اثبات‌های جالبی مانند اثبات‌های قضایای گاوس و استوکس ارائه می‌شود.

دانش قبلی مورد نیاز، حساب دیفرانسیل و انتگرال تک‌متغیره در حد کافی مطلوب است و نیازی به تسلط فوق‌العاده روی آنها نیست.

در ادامه، تعدادی از مفاهیم مهمی که در این بخش بررسی می‌شوند را ذکر می‌کنیم:

• مشتق جزئی - مشتق جزئی را در ابعاد بالاتر تعمیم می‌دهد. مشتق جزئی از تابع چندمتغیره، مشتقی است نسبت به یک متغیر خاص در حالی که سایر متغیرها ثابت نگه داشته شده‌اند. این مشتقات می‌توانند در کنار هم به صورت‌های پیچیده‌تر ترکیب شوند؛ مثلاً در حساب برداری (که در این دوره مشاهده می‌شود)، عملگر del برای تعریف گرادیان، جذر و curl در قالب مشتقات جزئی به کار می‌رود. ماتریس مشتقات جزئی، ماتریس ژاکوبی، نشان‌دهنده مشتق تابع بین دو فضای با ابعاد مختلف است. معادلات دیفرانسیل حاوی مشتقات جزئی، معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) نامیده می‌شوند و حل آنها معمولاً مشکل‌تر از حل معادلات دیفرانسیل عادی است. (اما در این دوره به PDEs نخواهیم پرداخت.)
• انتگرال‌گیری چندگانه - مفهوم انتگرال را برای توابع چندمتغیره گسترش می‌دهد. انتگرال‌های دوگانه و سه‌گانه برای محاسبه مساحت‌ها و حجم‌های نواحی در صفحه و فضا به کار می‌روند. انتگرال‌های سطح و خط برای انتگرال‌گیری روی چندین منحنی از سطوح و منحنی‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند. در طول دوره به این مفاهیم می‌پردازیم.

 در بخش دوم دوره، مسائل پیشرفته مکانیک بررسی می‌شود. چون محاسبات چندمتغیره موضوع جدانشدنی این بخش است، تصمیم گرفتیم بخش فیزیک و محاسبات چندمتغیره را در قالب یک دوره جمع‌بندی کنیم. مجموعه مسائل این بخش بر اساس جلد اول دوره فیزیک نظری لاندو و لایفشیتز است. تعدادی از مسائل این کتاب انتخاب شده و راه‌حل‌های کامل گام به گام در دوره توضیح داده شده است. حل مسائل در این کتاب کوتاه و مفصل نیست؛ بنابراین، در این دوره ابتدا تئوری لازم برای حل این مسائل بطور کامل ساخته می‌شود و سپس مسائل حل می‌شوند. در حل مسائل، مباحث نظری نیز مطرح می‌شود و هر فرمول در دوره انگیزه و استنتاج شده است.

ما از اصل عمل شروع می‌کنیم، که عنصر اصلی آن لاگرانژی است. این اصل در حل مسائل پیشرفته در تمامی شاخه‌های فیزیک، حتی در رمان مکانیک، کاربرد دارد. چندین مسئله در مورد ساخت لاگرانژی برای سیستم‌های مختلف و همچنین استنتاج همیلتونی (انرژی سیستم) بر مبنای لاگرانژی حل خواهیم کرد.

انرژی جنبشی اجسام سخت را هم بررسی می‌کنیم و فرمول‌هایی برای سرعت‌های نقاط مختلف این اجسام و همچنین شتاب‌ها استخراج می‌نماییم. شتاب‌ها مهم هستند نه فقط برایانرژی جنبشی، بلکه برای دینامیک اجسام سخت نیز مورد نیازند.

در مورد حرکت اجسام سخت، انرژی جنبشی و رابطه آن با لاگرانژی را بررسی می‌کنیم و چند تمرین در سه بعد در ارتباط با محاسبه انرژی جنبشی در حرکت جسم انجام می‌شود.

بیان انرژی جنبشی، وابسته به سرعت زاویه‌ای است، که در انرژی جنبشی به آن خواهیم رسید، و ماتریس اینرسی یا تانسور اینرسی در محاسبات به کار می‌رود. این فرمول‌ها در قالب کلی ارائه می‌شوند که در حل مسائل پیچیده بسیار مفید است؛ چون روش کلی حل مسئله را فراهم می‌آورد.

ماتریس اینرسی در بیان انرژی جنبشی نقش دارد و در دینامیک، در فرمول‌های مربوط به ممان اینرسی، ظاهر می‌شود. دلیل آن و نحوه کاربرد آن را در حل مسائل بررسی می‌کنیم.

در ادامه، مرجع‌های غیراینرسی و انحراف جسم در حال سقوط آزاد در اثر چرخش زمین را بررسی می‌کنیم؛ این موضوع نشان می‌دهد که زمین یک مرجع غیراینرسی است.

این دوره برای چه کسانی مناسب است؟

• دانشجویانی که به استدلال ریاضی علاقه‌مند هستند و مفاهیم مهم حساب دیفرانسیل و انتگرال چندمتغیره را می‌خواهند بفهمند.
• دانشجویانی که می‌خواهند فرمالیسم عمومی برای حل مسائل پیشرفته در مکانیک کلاسیک را یاد بگیرند.