جبر خطی برای داده، هوش مصنوعی و مهندسی: یک دوره کامل

آنچه یاد خواهید گرفت:

• سیستم‌های خطی و جواب‌ها: درک چگونگی مدل‌سازی و حل مسائل دنیای واقعی با استفاده از معادلات خطی
• فضاهای برداری و تبدیل‌ها: بررسی بلوک‌های سازنده فضاهای چندبعدی و کاربردهای آن‌ها
• ماتریس‌ها و عملیات: تسلط به جبر ماتریس، معکوس‌ها، دترمینان‌ها و تجزیه‌هایی مانند LU و QR
• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه: یادگیری مفاهیم اصلی پشت تحلیل پایداری، PCA و قطری‌سازی
• تعامد و تصویرها: اعمال این اصول در مسائل بهینه‌سازی و حداقل مربعات
• مباحث پیشرفته: ورود به قضایای طیفی، هندسه آفین و تبدیل‌ها در 2D و 3D

پیش نیازهای دوره

• آشنایی با جبر دبیرستان کافی است.

توضیحات دوره

زبان علم و فناوری مدرن را به زیبایی، به وضوح و به طور کامل بیاموزید.

این دوره شما را به سفری با طراحی دقیق در دنیای جبر خطی می‌برد: ریاضیاتی که قدرت‌بخش تحلیل داده، گرافیک کامپیوتری، بهینه‌سازی، مهندسی، مکانیک کوانتومی و رمزنگاری است. شما شهود هندسی، تسلط محاسباتی و درک نظری خواهید ساخت تا بتوانید مسائل را با اطمینان حل کنید و توضیح دهید که چرا روش‌هایتان کار می‌کنند.

چرا این دوره؟

• ابتدا شهود، سپس آمادگی برای اثبات: مدرس با هندسه و مثال‌های عملی شروع می‌کند، سپس هر مفهوم را به تعاریف و قضایای دقیق متصل می‌سازد. شما جبر خطی را «خواهید دید» قبل از آنکه آن را رسمی کنید.
• مانند یک حرفه‌ای محاسبه کنید: از فرم‌های پلکانی و حذف گاوس–جردن گرفته تا تجزیه‌های LU و QR، شما روش‌های سریع و قابل اعتمادی را یاد خواهید گرفت که مقیاس‌پذیر هستند.
• در قالب تبدیل‌ها فکر کنید: مصورسازی کنید که چگونه ماتریس‌ها فضاها را می‌کشند، می‌چرخانند، بُرش می‌دهند و بازتاب می‌دهند و از هسته‌ها، تصاویر و رتبه برای استدلال در مورد آن‌ها استفاده کنید.
• فراتر از مبانی: این دوره شامل میدان‌ها و حساب پیمانه‌ای (کار بر روی میدان‌های متناهی)، هندسه آفین (top‑down vs. bottom‑up perspectives) و یک بررسی کامل از تعامد، تصویرها و حداقل مربعات است. تا قضایای طیفی و قطری‌سازی متعامد
• ساختار زیبا: این دوره نشان می‌دهد که چگونه همه چیز با هم هماهنگ است: فضای ستونی، فضای سطری، فضای پوچ و فضای پوچ چپ؛ پایه و بُعد؛ مختصات و تغییر پایه؛ شباهت و نمایش‌های ماتریسی؛ دترمینان‌ها و خواص آن‌ها؛ و هم‌ارزی‌های عمیق در قضیه ماتریس غیرمنفرد 

آنچه به آن مسلط خواهید شد.

• سیستم‌های خطی: مسائل واقعی را مدل‌سازی کنید و آن‌ها را با فرم‌های پلکانی، گاوس–جردن و روش‌های ماتریسی حل کنید. هم بر روی اعداد حقیقی و هم بر روی میدان‌های متناهی با حساب پیمانه‌ای
• فضاها و زیرفضاهای برداری: به راحتی با اسپن‌ها، ترکیبات خطی، وابستگی/استقلال خطی، و فضاهای کلاسیک (ستون‌ها، سطرها، توابع، ماتریس‌ها) کار کنید.
• تبدیل‌های خطی: خطی بودن را اثبات کنید، هسته و تصویر را محاسبه کنید، و تعیین کنید که چه زمانی یک نگاشت یک به یک (one-to-one) یا پوشا است. تبدیل‌ها را به صورت ماتریس نمایش دهید و پایه را به راحتی تغییر دهید.
• عملیات و خواص ماتریس: ضرب، ترانهاده، تِریس و استدلال در مورد موارد خاص و دام‌های ضرب ماتریس را بیاموزید.
• از فرم‌های پلکانی تا تجزیه‌ها: ماتریس‌های مقدماتی، معکوس ماتریس، تجزیه LU (و تعمیم‌های آن)، و هندسه تبدیل‌های ماتریسی را درک کنید.
• تعامد و تصویرها: از ضرب‌های داخلی، نرم‌ها، فاصله‌ها و متمم‌های متعامد استفاده کنید. فرآیند Gram–Schmidt را اعمال کنید، تصویرهای متعامد را محاسبه کنید و مسئله حداقل مربعات را با وضوح هندسی حل کنید.
• دترمینان‌ها و هندسه: دترمینان‌ها را محاسبه کنید (کوفاکتورها، بسط لاپلاس)، خواص و ضرب‌پذیری آن‌ها را درک کنید، و آن‌ها را به حجم، عملیات سطری و قانون کرامر مرتبط سازید.
• ضرب خارجی و ضرب سه‌گانه: با هندسه 3D، بردارهای نرمال و مجموعه‌های آفین کار کنید.
• مقادیر ویژه و قطری‌سازی: بردارهای ویژه/مقادیر ویژه را شناسایی کنید، چندجمله‌ای‌های مشخصه را محاسبه کنید، قطری‌پذیری را تعیین کنید، و قطری‌سازی متعامد را برای ماتریس‌های متقارن انجام دهید. قضیه طیفی و پیامدهای آن را درونی کنید.
• دیدگاه‌های پیشرفته: تبدیل‌های آفین، قطری‌سازی واحد و ارتباطات بین شباهت، ساختار و محاسبات را بررسی کنید.

یک رویکرد منحصربه‌فرد متعادل

• از بالا به پایین و از پایین به بالا: از بینش هندسی تا ساختار جبری و برعکس تا مفاهیم در ذهن شما باقی بمانند.
• مثال‌های حل‌شده در هر گام: مسئله «آیا این بردار یک ترکیب خطی است؟» را هم در اعداد حقیقی و هم در حساب پیمانه‌ای حل کنید؛ پایه‌هایی برای فضاهای ستونی و پوچ بسازید؛ هسته‌ها/تصاویر را محاسبه کنید؛ و استقلال خطی را به سرعت با میانبرهای اصولی بررسی کنید.
• بررسی مفاهیمی که می‌توانید حس کنید: تئوری را به مهارت تبدیل کنید: ماتریس‌های افزوده را دستکاری کنید، منفرد بودن را سریع تشخیص دهید، و فضاهای اساسی یک ماتریس را بدون حفظ کردن درک کنید.

در پایان، شما قادر خواهید بود سیستم‌های خطی را به شیوایی فرمول‌بندی و حل کنید، در فضاهای برداری فکر کنید، بین پایه‌ها تبدیل انجام دهید، ماتریس‌ها را تحلیل کنید، بر روی زیرفضاها تصویر بگیرید، مسائل حداقل مربعات را حل کنید، و ماتریس‌ها را قطری‌سازی کنید با شهودی که به شما امکان می‌دهد دلیل هر حرکت را ببینید و اعتماد به نفسی که آن را در هر جایی به کار ببرید.

این دوره برای چه کسانی مناسب است؟

• دانشجویان رشته‌های ریاضیات، مهندسی، علوم کامپیوتر، فیزیک یا زمینه‌های مرتبط
• متخصصان داده/هوش مصنوعی که به دنبال درک عمیق و پایدار هستند (PCA از طریق تحلیل ویژه، رگرسیون از طریق حداقل مربعات، پایداری از طریق مقادیر ویژه)
• یادگیرندگان کنجکاوی که می‌خواهند جبر خطی را واقعاً درک کنند، نه اینکه فقط «مراحل را انجام دهند».