گرانش کوانتومی حلقه‌ای، فرم‌های دیفرانسیل و هندسه کوانتومی

آنچه یاد خواهید گرفت:

• درک اصول اولیه گرانش کوانتومی حلقه‌ای (LQG)
• بررسی شباهت میان هندسه کوانتومی و گشتاورهای زاویه‌ای
• تسلط به فرم‌های دیفرانسیل و کاربردهای آنها
• آشنایی با فرموله ADM نسبیت عام، اکشن پالاتینی و نظریه گروه
• درک شبکه‌های اسپین و کوانتاهای هندسه
• فهم نقش هولونومی و حلقه‌های ویلسون
• بررسی ویژگی‌های سه‌پایه چگالش‌ یافته و عملگر حجم
• درک فرمول چهارگانه نسبیت عام و معادلات کارتان
• برخی مباحث مرتبط با انتگرال مسیر در گرانش کوانتومی حلقه‌ای
• اهمیت معادله ویلر-دوویت و رابطه آن با حلقه‌ها
• تحلیل هارمونیک روی گروه SU(2)، کلید درک مبانی گرانش کوانتومی حلقه‌ای

پیش‌نیازهای دوره

• فیزیک کوانتومی و نظریه میدان کوانتومی (و ریاضیات مرتبط)
• نسبیت عام (و ریاضیات مرتبط)

توضیحات دوره

گرانش کوانتومی حلقه‌ای - معرفی جامع

از مبانی تا مباحث پیشرفته‌تر، مفاهیمی چون گشتاور زاویه‌ای، هولونومی، هندسه کوانتومی، فرمول ADM و اکشن پالاتینی و بیشتر را بررسی خواهیم کرد (به برنامه درسی زیر نگاه کنید). همچنین بخشی مستقل درباره فرم‌های دیفرانسیل وجود دارد که برای بخش پایانی دوره اهمیت دارد.

مقدمه‌ای بر گرانش کوانتومی حلقه‌ای (LQG)

• بررسی گرانش کلاسیک و چالش‌ها
• دلایل انتخاب گرانش کوانتومی حلقه‌ای
• گسسته‌سازی فضا-زمان و اصول اساسی

گشتاورهای زاویه‌ای در LQG

• ویژگی‌های عملگرهای گشتاور زاویه‌ای
• نمایش ماتریسی گشتاور زاویه‌ای
• ذرات اسپین 1/2 در LQG

هولونومی و عملگر مساحت

• معادله دیفرانسیل هولونومی
• مفهوم هولونومی در گرانش کوانتومی حلقه‌ای
• ویژگی‌های هولونومی و حلقه‌های ویلسون
• سه‌پایه چگالش‌ یافته در LQG
• تعمیم هولونومی‌ها در LQG

هندسه کوانتومی با شبکه‌های اسپین

• شبکه‌های اسپین و حالات شبکه‌های اسپین
• تفسیر کلاسیک سه‌پایه چگالش‌ یافته
• عملگر حجم در LQG
• اصل عدم قطعیت هایزنبرگ در LQG

فرمول ADM و چهارگانه‌ها

• فرمول ADM
• معکوس تانسور متریک و عملگر نگاشت
• فرمول دترمینان تانسور متریک
• مشتق لی
• معرفی چهارگانه‌ها (تعمیم سه‌پایه‌ها)

مقدمه‌ای بر فرم‌های دیفرانسیل

• تعمیم حاصلضرب متقاطع و آشنایی با حاصلضرب گوه‌ای
• شهود هندسی حاصلضرب متقاطع و حاصلضرب گوه‌ای
• حاصلضرب متقاطع در دو و سه بعد مشتق شده از حاصلضرب گوه‌ای
• حاصلضرب گوه‌ای و درجات فرم‌ها
• فرم‌های دیفرانسیل و مشتق خارجی

قضیه بنیادین تعمیم‌یافته حسابان

• بررسی قضیه اساسی تعمیم‌یافته حسابان
• اثبات قضیه اساسی تعمیم‌یافته حسابان
• کاربرد قضیه تعمیم‌یافته حسابان
• قضیه استوکس در دو و سه بعد، قضیه واگرایی

کاربردهای فرم‌های دیفرانسیل

• تبدیل حجم‌ها به زبان فرم‌های دیفرانسیل
• عنصر حجم متغیر در ابعاد D
• مشتق خارجی دوم یک فرم
• کاربرد فرم‌های دیفرانسیل در میدان الکترومغناطیسی
• مشتق معادلات ماکسول از فرم‌های دیفرانسیل

دوگانه هاج و فرم‌های الکترومغناطیسی

• دوگانه هاج، شبه‌تانسور لوی-چیویتا
• مشتق خارجی دوگانه هاج فرم الکترومغناطیسی
• مشتق باقیمانده معادلات ماکسول از فرم‌های دیفرانسیل

تمرینات با فرم‌های دیفرانسیل

• مشتق خارجی حاصلضرب گوه‌ای فرم‌های دیفرانسیل
• تمرینات محاسبه مشتق‌های خارجی و دوگانه‌های هاج
• محاسبه سطح و تمرینات دوگانه هاج

اکشن پالاتینی نسبیت عام و انتگرال‌های مسیر در گرانش کوانتومی حلقه‌ای

• اکشن پالاتینی نسبیت عام
• اتصال اسپین، معادلات کارتان، مشتق لی و تجزیه اکشن پالاتینی
• معادله ویلر-دوویت و ارتباط آن با حلقه‌ها
• تئوری BF
• شهود انتگرال مسیر در گرانش کوانتومی حلقه‌ای
• تحلیل هارمونیک روی گروه SU(2)، ماتریس‌های وینگر D

نمایش گشتاور زاویه‌ای مداری، هارمونیک‌های کروی و ماتریس وینگر D

• گشتاور زاویه‌ای مداری
• هارمونیک‌های کروی
• چندجمله‌ای‌های لگندر
• ماتریس‌های وینگر D و هارمونیک‌های کروی

پیوست - برخی ابزارهای ریاضی بیشتر برای درک پیشرفته

• ردیف لگاریتم یک ماتریس و دترمینان
• اثبات همانی ژاکوبی
• سری نومان
• ویژگی‌های مهم ماتریس‌های یکانی و نظریه گروه

پیشنهاد منابع برای دوره

• منابع اضافی، مطالعات و مرجع‌ها برای ارتقای فهم (در بعضی دروس، پیوست‌هایی وجود دارد).

این دوره معرفی جامعی درباره گرانش کوانتومی حلقه‌ای فراهم می‌کند که اصول پایه، برخی ابزارهای ریاضی و مباحث پیشرفته را شامل می‌شود تا یادگیرندگان را به درکی اولیه اما عمیق از این حوزه جذاب برساند.

این دوره برای چه کسانی مناسب است؟

• علاقه‌مندان و دانشجویان فیزیک - دانشجویان دوره‌های کارشناسی و تحصیلات تکمیلی در رشته فیزیک یا رشته‌های مرتبط که به دنبال درک عمیق‌تر مفاهیم نوین فیزیک نظری هستند.
• پژوهشگران و اساتید دانشگاهی - افراد فعال در پژوهش‌های فیزیک نظری یا اساتید رشته‌های مرتبط که می‌خواهند گرانش کوانتومی حلقه‌ای را به‌عنوان یک تحول احتمالی در درک فضا-زمان بررسی کنند.
• اساتید علوم - افرادی که قصد دارند دانش خود را در زمینه فیزیک نظری معاصر گسترش دهند.
• افرادی با علاقه واقعی به اسرار جهان، بدون توجه به پیش‌زمینه تحصیلی، که می‌خواهند دنیای جذاب گرانش کوانتومی حلقه‌ای را بررسی کنند.
• علاقه‌مندان به ریاضیات - یادگیرندگان با زمینه ریاضی قوی که علاقه‌مند به ابزارها و تکنیک‌های ریاضی استفاده‌ شده در گرانش کوانتومی حلقه‌ای، از جمله فرم‌های دیفرانسیل، نظریه گروه و مفاهیم ریاضیات پیشرفته هستند.