جبر مجرد - بخش 2: گام بعدی در تفکر جبری

معرفی
سرفصل

✅ سرفصل و جزئیات آموزش

آنچه یاد خواهید گرفت:

چگونگی کنش گروه‌ها بر مجموعه‌ها، و اینکه چگونه مدارها، پایدارسازها و زیرگروه‌های ایزوتروپی ساختار گروه را آشکار می‌کنند.
معادله رده، قضیه کوشی و قضایای سیلو - سنگ بناهای نظریه گروه‌های متناهی
مفهوم اتومورفیسم‌ها، شامل اتومورفیسم‌های درونی و اتومورفیسم‌های گروه‌های آبلی
چگونگی طبقه‌بندی و تحلیل گروه‌های ساده، شامل مثال‌های غیرآبلی و مرتبه گروه‌ها
ساختار و رفتار حلقه‌ها، شامل زیرحلقه‌ها، حلقه‌های ماتریسی، حلقه‌های چندجمله‌ای و حلقه‌های گروهی
درک عمیق دامنه‌های صحیح، دامنه‌های ایده‌آل اصلی (PIDs)، دامنه‌های اقلیدسی و دامنه‌های تجزیه یکتا (UFDs)
نظریه ایده‌آل‌ها، شامل ایده‌آل‌های اول، ماکسیمال و اصلی، و قضایای ایزومورفیسم برای حلقه‌ها
چگونگی ساخت و کار با میدان‌ها، حلقه‌های تقسیم و توسیع‌های میدان
منطق پشت بستارهای جبری، اعداد ترسیم‌پذیر و میدان‌های شکافنده
ساختار میدان‌های متناهی، میدان‌های گالوا و کاربردهای آن‌ها در نظریه کدگذاری
مبانی نظریه گالوا، شامل اتومورفیسم‌ها، میدان‌های ثابت و قضیه اساسی نظریه گالوا
چگونگی تعیین حل‌پذیری با رادیکال‌ها و ارتباط بین نظریه گروه‌ها و معادلات چندجمله‌ای
مقدمه‌ای بر شبکه‌ها، جبرهای بولی و ویژگی‌ها و کاربردهای جبری آن‌ها

پیش‌نیازهای دوره

تکمیل دوره جبر مجرد - بخش 1 یا دانش معادل درباره گروه‌ها، حلقه‌ها و اثبات‌های پایه
آشنایی با نظریه مجموعه‌ها، توابع و جبر خطی مقدماتی
تمایل به تعاما با استدلال انتزاعی و منطق ریاضی رسمی

توضیحات دوره

جبر مجرد - بخش 2: کنش‌های گروه، حلقه‌ها، میدان‌ها و نظریه گالوا

بررسی در ساختارهای عمیق جبری که ریاضیات مدرن را شکل می‌دهند.

جبر مجرد - بخش 2 تنها یک ادامه نیست. بلکه تحولی در چگونگی درک شما از ریاضیات است. اگر جبر مجرد - بخش 1 شما را با مفاهیم اساسی گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها آشنا کرد، این دوره شما را به هسته استدلال جبری می‌برد، جایی که ساختار، تقارن و انتزاع به هم می‌رسند.

این همان ریاضیاتی است که زیربنای رمزنگاری، نظریه کدگذاری، مکانیک کوانتومی و هندسه جبری را تشکیل می‌دهد. این زبانِ اتومورفیسم‌ها، توسیع‌های میدان و گروه‌های گالوا است ابزارهایی که ریاضیدانان برای حل معادلاتی که متدهای کلاسیک از حل آن‌ها ناتوانند و برای درک روابط عمیق بین آبجکت های جبری استفاده می‌کنند.

شما با کنش‌های گروه آغاز خواهید کرد، چارچوبی قدرتمند برای درک چگونگی تعامل گروه‌ها با مجموعه‌ها، که منجر به بینش‌هایی درباره تقارن، مدارها و پایدارسازها می‌شود. از آنجا، اتومورفیسم‌ها را بررسی خواهید کرد، تقارن‌های درونی ساختارهای جبری و اینکه چگونه آن‌ها با معادله رده، قضایای سیلو و طبقه‌بندی گروه‌های ساده ارتباط دارند.

سپس، دوره به سمت نظریه حلقه‌ها تغییر مسیر می‌دهد، جایی که زیرحلقه‌ها، ایده‌آل‌ها و هومومورفیسم‌ها را مطالعه می‌کنید و کشف خواهید کرد که چگونه ساختارهایی مانند دامنه‌های ایده‌آل اصلی (PIDs) و دامنه‌های اقلیدسی بر تجزیه و بخش‌پذیری حاکم هستند. خواهید آموخت که حلقه‌های چندجمله‌ای چگونه روی دامنه‌های مختلف رفتار می‌کنند و چگونه ابزارهایی مانند لم گاوس و معیار آیزنشتاین به شناسایی عناصر کاهش‌ناپذیر کمک می‌کنند.

نیمه دوم دوره به نظریه میدان و نظریه گالوا اختصاص دارد. نگین درخشان جبر کلاسیک است. شما توسیع‌های میدان، میدان‌های شکافنده و میدان‌های متناهی را بررسی خواهید کرد و یاد می‌گیرید که چگونه گروه‌های گالوا حل‌پذیری چندجمله‌ای‌ها را رمزگذاری می‌کنند. خواهید دید که چگونه حل‌پذیری با رادیکال‌ها نظریه گروه‌ها را به پرسش قدیمی حل معادلات متصل می‌کند، و چگونه اعداد ترسیم‌پذیر به مسائل هندسی مانند تثلیث زاویه و تربیع دایره مرتبط می‌شوند.

در نهایت، این دوره شبکه‌ها و جبرهای بولی را معرفی می‌کند و پلی بین جبر، منطق و علوم کامپیوتر می‌زند. این ساختارها نشان می‌دهند که چگونه استدلال جبری در مدارها، تصمیم‌گیری و محاسبات نمادین کاربرد دارد.

چرا این دوره را بگذرانید؟

برای ساختن اصول دانش خود از جبر مجرد I و تسلط بر ساختارهای جبری پیشرفته
برای آمادگی جهت ریاضیات سطح تحصیلات تکمیلی، پژوهش یا آزمون‌های رقابتی
برای درک جبرِ پشتِ کاربردهای مدرن در رمزنگاری، نظریه کدگذاری و فیزیک نظری
برای توسعه بلوغ ریاضی از طریق اثبات‌های دقیق، استدلال انتزاعی و تفکر ساختاری
برای پیوند دادن جبر با هندسه، منطق و محاسبات در یک چارچوب یکپارچه

این دوره برای چه کسانی مناسب است؟

دانشجویانی که جبر مجرد - بخش 1 را گذرانده‌اند و می‌خواهند مطالعات خود را ادامه دهند.
فراگیرانی که برای ریاضیات سطح ارشد/دکترا، مسابقات ریاضی یا پژوهش آماده می‌شوند.
دانشمندان علوم کامپیوتر، فیزیکدانان و مهندسانی که به ساختارهای جبری و نظریه کدگذاری علاقه‌مندند.
هر کسی که اشتیاق به انتزاع و ساختار ریاضی دارد.

جبر مجرد - بخش 2: گام بعدی در تفکر جبری

فصل 1: کنش‌های گروه

کنش‌های گروه 15:33
مثال‌هایی از کنش‌های گروه 18:11
مدارهای یک کنش گروه 07:48

فصل 2: زیرگروه‌های ایزوتروپی

مثال‌های بیشتر از کنش‌های گروه 05:43
قضیه کیلی قوی 07:44
مجموعه‌های پایدار و زیرگروه‌های ایزوتروپی 14:50
اصل اساسی شمارش (کنش‌های گروه) 09:46

فصل 3: اتومورفیسم‌ها

اتومورفیسم‌ها (نظریه گروه‌ها) 07:19
اتومورفیسم‌های گروه‌های آبلی 15:13
اتومورفیسم‌های درونی 17:59

فصل 4: معادله رده

معادله رده 19:15
گروه‌های p 13:38

فصل 5: قضیه برنساید

قضیه برنساید 13:46
شمارش مدارها با استفاده از قضیه برنساید 29:07

فصل 6: قضیه کوشی

قضیه کوشی 12:42
قضیه اول سیلو 16:56

فصل 7: قضایای سیلو

لم‌های نظریه سیلو 11:58
قضیه دوم سیلو 09:54
قضیه سوم سیلو 17:26

فصل 8: گروه‌های ساده

گروه‌های ساده 39:37

فصل 9: نظریه سیلو و گروه‌های ساده

گروه‌هایی با مرتبه pq 29:20
جستجوی گروه‌های ساده غیرآبلی: بخش 1 – گروه‌هایی با مرتبه pⁿ و pq 09:25
جستجوی گروه‌های ساده غیرآبلی: بخش 2 – گروه‌هایی با مرتبه (pⁿ)k: 18، 20، 2 07:01
جستجوی گروه‌های ساده غیرآبلی: بخش 3 – گروه‌هایی با مرتبه (2ⁿ)p: 12، 56 05:51
جستجوی گروه‌های ساده غیرآبلی: بخش 4 – گروه‌هایی با مرتبه pqr: آموزش 30، 42 07:36
جستجوی گروه‌های ساده غیرآبلی: بخش 5 – گروه‌هایی با مرتبه 12k: 24، 36، 48 22:37