ریاضیات، فلسفه و «دنیای واقعی» با پروفسور جودیت وی. گرابینر

نفوذ ریاضیات بسیار فراتر از قلمرو اعداد گسترش یافته است. مفاهیم و روش‌های ریاضی برای تمام جنبه‌های فرهنگی اهمیت حیاتی دارند و بر نگاه افراد بی‌شماری در تمام حوزه‌های زندگی به جهان تأثیر می‌گذارند. این موارد را در نظر بگیرید:

• هنگامی که لئوناردو داوینچی در دهه 1490 نقاشی دیواری خود یعنی «شام آخر» را طراحی می‌کرد، از پرسپکتیو هندسی برای ایجاد یک ترکیب‌بندی منحصر به فرد و تأثیرگذار استفاده کرد که بر سر عیسی متمرکز بود.
• هنگامی که توماس جفرسون در سال 1776 برای نوشتن اعلامیه استقلال نشست، آن را بر اساس مدل یک اثبات هندسی تنظیم کرد، که همین موضوع قدرت زیادی به آن به عنوان دفاعیه‌ای از آزادی می‌بخشد.
• هنگامی که آلبرت انیشتین نظریه نسبیت عام خود را در اوایل قرن بیستم توسعه داد، از هندسه نااقلیدسی برای اثبات اینکه مسیر یک پرتو نور در حضور یک میدان گرانشی، مستقیم نیست بلکه منحنی است، استفاده کرد.

نمونه‌های جذابی مانند اینها، گفتگوی مهم بین ریاضیات و فلسفه را که در طول تاریخ شکوفا شده است، منعکس می‌کنند. در واقع، ریاضیات به طور مداوم به تعیین مسیر تفکر فلسفی غرب کمک کرده است. دیدگاه‌ها در مورد طبیعت انسان، دین، حقیقت، فضا و زمان، و بسیاری موارد دیگر توسط ایده‌ها و شیوه‌های این رشته علمی حیاتی شکل گرفته و اصلاح شده‌اند. پروفسور جودیت وی. گرابینر، برنده جوایز متعدد، در مجموعه 36 درس «ریاضیات، فلسفه و دنیای واقعی»، به شما نشان می‌دهد که چگونه ریاضیات به شیوه‌هایی عمیق و هیجان‌انگیز، اندیشه بشر را شکل داده است. این مجموعه به بررسی مفاهیم و شیوه‌های ریاضی می‌پردازد که می‌توانند در طیف وسیعی از حوزه‌ها و تجربیات شگفت‌انگیز به کار گرفته شوند.

درس ها:

01: موضوع کلی چیست؟

پروفسور گرابینر شما را با رویکرد این دوره آشنا می‌کند که نه تنها به ایده‌های ریاضی، بلکه به تأثیر آنها بر تاریخ اندیشه نیز می‌پردازد. این درس دو حوزه از ریاضیات را که تمرکز اصلی دوره هستند، پیش‌نمایش می‌دهد: احتمال و آمار، و هندسه.

02: شرط‌بندی بر سر زندگی - آمار و پزشکی

در سن 40 سالگی، استیون جی گولد، زیست‌شناس برجسته، متوجه شد که به نوعی سرطان مبتلا است که میانه زمان بقا پس از تشخیص آن هشت ماه بود. کشف کنید که چرا دانش او از آمار به او دلیلی برای امیدواری داد، امیدی که با زندگی 20 ساله دیگر او به اثبات رسید.

03: شرط‌بندی بر سر زندگی - تحلیل هزینه-فایده

تحلیل هزینه-فایده که یکی از پایه‌های اصلی اقتصاد امروز است، ریشه در استدلالی برای توجیه اعتقاد به خدا دارد که توسط فیلسوف قرن هفدهم، بلز پاسکال، ارائه شد. استدلال او و کاربرد مدرن تحلیل هزینه-فایده در یک تصمیم فاجعه‌بار در صنعت خودروسازی را بررسی کنید.

04: آمار عمومی - میانگین‌ها و نرخ‌های پایه

در اولین درس از سه درس در مورد استفاده عمومی از آمار، سه روش محاسبه میانگین را بررسی کنید: میانگین حسابی، میانه و مد. روش ترجیحی به ماهیت داده‌ها و هدف تحلیل بستگی دارد که آن را با مثال‌ها آزمایش می‌کنید.

05: آمار عمومی - نمودارها

یاد بگیرید که چگونه نمودارهای خوب را از بد تشخیص دهید. این کار با بررسی نمونه‌هایی از هر دو نوع و مرور سوالاتی که باید در مورد هر اطلاعات گرافیکی پرسیده شود، انجام می‌گیرد. بهترین نمودارها تفکر ثمربخش را ترویج می‌دهند، در حالی که بدترین آنها نمایانگر استدلال آماری ضعیف یا حتی تلاشی عمدی برای فریب هستند.

06: آمار عمومی - نظرسنجی و نمونه‌گیری

در پایان بررسی آمار عمومی، به نظرسنجی افکار عمومی و فرآیند نمونه‌گیری که آن را ممکن می‌سازد، می‌پردازید. پروفسور گرابینر از یک کاسه M&Ms به عنوان یک مدل واقع‌گرایانه از نمونه‌گیری استفاده می‌کند و سوالات مهمی را که باید در مورد نتایج هر نظرسنجی پرسید، مورد بحث قرار می‌دهد.

07: تولد آمار اجتماعی

هندسه بیش از 2000 سال قدمت دارد، اما آمار اجتماعی یک رشته نسبتاً جدید است که بخشی از آن توسط آدولف کوتله در قرن نوزدهم توسعه یافت. بررسی کنید که چه چیزی کوتله را برای به کارگیری ریاضیات در مطالعه جامعه الهام بخشید و چگونه منحنی زنگی او را به مفهوم «انسان متوسط» رساند.

08: احتمال، اصل ضرب و جایگشت‌ها

با کاوش عمیق‌تر در منشأ منحنی زنگی، بر تعریف احتمال، اصل ضرب و سه قانون اساسی احتمال تمرکز کنید. همچنین نمونه‌های واقعی را با نگاهی به پیامدهای تاریخی و فلسفی گسترده‌تر مطالعه کنید.

09: ترکیب‌ها و نمودارهای احتمال

با افزودن مفهوم ترکیب‌ها به مطالب درس قبلی، پروفسور گرابینر نشان می‌دهد که چرا یک منحنی زنگی از پرتاب سکه، اندازه‌گیری قد و سایر پدیده‌های تصادفی نتیجه می‌شود. بسیاری از موقعیت‌ها از نظر ریاضی مانند پرتاب سکه هستند، که این سوال را مطرح می‌کند که آیا تصادفی بودن یک ویژگی دنیای واقعی است؟

10: احتمال، جبرگرایی و اختیار

دو رویکرد به اختیار را کاوش کنید. پیر-سیمون لاپلاس معتقد بود که استدلال احتمالی تنها برای پنهان کردن ناآگاهی از چیزی است که در اصل، می‌توان با قطعیت پیش‌بینی کرد. جیمز کلرک ماکسول، تحت تأثیر نظریه جنبشی گازها، پاسخ داد که هیچ چیز به طور مطلق تعیین شده نیست و اختیار ممکن است.

11: مسائل احتمال برای سرگرمی و سود

این درس شما را با طیف گسترده‌ای از مسائل جالب در احتمال، از جمله مسئله‌ای که ممکن است شما را از دست سارقان نجات دهد، آشنا می‌کند. در پایان، توزیع تعداد زیادی از نمونه‌ها و ارتباط آنها با منحنی زنگی و مفهوم خطای نمونه‌گیری را بررسی کنید.

12: احتمال و علم مدرن

با پرداختن به علوم، پروفسور گرابینر نشان می‌دهد که چگونه احتمال زیربنای کار پیشگامانه گرگور مندل در ژنتیک است. در علوم اجتماعی، او به بررسی بحث در مورد نژاد و نمرات IQ می‌پردازد و تأکید می‌کند که آنچه واقعی است، فرد است، نه میانگین‌ها.

13: از احتمال تا قطعیت

این درس بخش دوم دوره را معرفی می‌کند که به بررسی هندسه و تعاملات آن با فلسفه می‌پردازد. با مقایسه استدلال احتمالی و آماری از یک سو، با استدلال دقیق و منطقی از سوی دیگر شروع کنید. چه نوع سوالاتی برای هر کدام مناسب است؟

14: ظاهر و واقعیت - خط تقسیم افلاطون

فلسفه افلاطون عمیقاً در ایده‌های ریاضی، به ویژه ایده‌های هندسه یونان باستان، ریشه دارد. در این درس و درس بعدی، بر «جمهوری» افلاطون تمرکز می‌کنید. تصویر مرکزی آن از خط تقسیم، یک استعاره هندسی در مورد ماهیت واقعیت، وجود و دانش است.

15: غار افلاطون - ماهیت یادگیری

افلاطون در تمثیل مشهور غار خود، جستجویی برای حقیقت را به تصویر می‌کشد که فراتر از ظواهر روزمره است. پروفسور گرابینر نشان می‌دهد که چگونه افلاطون از ریاضیات الهام گرفته است، که آن را الگویی برای نظم در جهان می‌دید—دیدگاهی که تأثیر عظیمی بر دانشمندان بعدی مانند کپلر و نیوتن داشت.

16: «اصول» اقلیدس - پس‌زمینه و ساختار

«اصول هندسه» اقلیدس که در حدود 300 سال قبل از میلاد نوشته شده، موفق‌ترین کتاب درسی در تاریخ است. با مطالعه پایه‌های رویکرد اقلیدس و بررسی دقیق اثبات او مبنی بر اینکه می‌توان یک مثلث متساوی‌الاضلاع را با یک خط معین به عنوان ضلع آن ساخت، از گنجینه‌های آن نمونه‌برداری کنید.

17: «اصول» اقلیدس - مدلی برای استدلال

این درس بر ساختار منطقی «اصول» اقلیدس به عنوان مدلی برای استدلال علمی تمرکز دارد. همچنین آنچه ارسطو در مورد ماهیت تعاریف، اصول موضوعه و اصول متعارفه و شرایطی که تحت آن منطق می‌تواند حقیقت را آشکار کند، گفته است را بررسی می‌کنید.

18: منطق و مغالطات منطقی - چرا اهمیت دارند؟

این درس با پرداختن به ماهیت استدلال منطقی، اشکال استدلال مورد استفاده توسط اقلیدس، از جمله قیاس استثنایی، رفع تالی و برهان خلف، و همچنین مغالطات منطقی مانند تصدیق تالی و انکار مقدم را بررسی می‌کند.

19: رساله «منون» افلاطون - یادگیری چگونه ممکن است؟

اولین درس از دو درس در مورد رساله منون افلاطون، استفاده شگفت‌انگیز او از هندسه را برای کشف اینکه آیا یادگیری ممکن است و آیا فضیلت قابل آموزش است، نشان می‌دهد. پروفسور گرابینر این سوال را مطرح می‌کند: آیا گزارش افلاطون از چگونگی وقوع یادگیری از نظر فلسفی یا روان‌شناختی قابل قبول است؟

20: رساله «منون» افلاطون - استدلال و دانش

با ادامه بررسی رساله منون، به استفاده افلاطون از استدلال فرضی و هندسه برای کشف ماهیت فضیلت نگاه کنید. در پایان، فراتر از افلاطون رفته و به پیامدهای ایده‌های او برای آموزش ریاضیات امروز بپردازید.

21: اثبات‌های اقلیدسی بیشتر، مستقیم و غیرمستقیم

این درس به هندسه اقلیدس بازمی‌گردد، با هدف نهایی نشان دادن قضایای کلیدی که او برای ایجاد نظریه منطقی زیبا و فلسفی مهم خود در مورد توازی‌ها نیاز دارد. با کار بر روی یک سری از اثبات‌ها، یاد بگیرید که چگونه اقلیدس از مفروضات اساسی یا اصول متعارفه خود استفاده می‌کند.

22: دکارت - روش و ریاضیات

رنه دکارت که به طور گسترده به عنوان بنیانگذار فلسفه مدرن شناخته می‌شود، در توسعه ایده‌های انقلابی خود از یک مدل اقلیدسی پیروی کرد. استدلال مشهور او «من فکر می‌کنم، پس هستم» را به همراه برخی از دیدگاه‌های الهیاتی و علمی او بررسی کنید، و بر آنچه روش او به ریاضیات مدیون است تمرکز کنید.

23: اسپینوزا و جفرسون

این درس دو وارث روش‌های علم برهانی را که توسط ارسطو توصیف شده، توسط اقلیدس نمونه‌سازی شده و توسط دکارت تأیید شده است، معرفی می‌کند. اسپینوزا از دقت هندسی برای ساختن نظام فلسفی خود استفاده کرد، در حالی که جفرسون به اعلامیه استقلال شکل یک اثبات اقلیدسی داد.

24: اجماع و خوش‌بینی در قرن هجدهم

به گفته پروفسور گرابینر، ریاضیات زیربنای بخش بزرگی از تفکر غربی قرن هجدهم است. ببینید که چگونه ولتر، آدام اسمیت و دیگران قدرت دقت ریاضی را در فلسفه به کار بردند، روندی که به شکل‌گیری ایده پیشرفت در روشنگری کمک کرد.

25: اقلیدس - توازی‌ها، بدون اصل پنجم

پس از پوشش دادن راهپیمایی پیروزمندانه هندسه اقلیدسی به عصر روشنگری، بخش سوم دوره را آغاز می‌کنید که وارونگی خیره‌کننده پرستش نیمه‌مذهبی اقلیدس را ترسیم می‌کند. این درس با تمرکز بر نظریه خطوط موازی اقلیدس، زمینه را فراهم می‌کند.

26: اقلیدس - توازی‌ها، نیازمند اصل پنجم

اصل پنجم اقلیدس، که سه گزاره از گزاره‌های او در مورد توازی‌ها به آن بستگی دارد، بر خلاف بازنویسی مدرن آن که در کتاب‌های درسی هندسه استفاده می‌شود، به دور از بدیهی بودن به نظر می‌رسد. از طریق چندین اثبات که به اصل پنجم تکیه دارند، کار کنید و بررسی کنید که چرا این اصل برای سیستم اقلیدس ضروری است و چرا اینقدر بحث‌برانگیز بود.

27: کانت، علیت و متافیزیک

اولین درس از دو درس در مورد امانوئل کانت، به بررسی این سوال کانت می‌پردازد که آیا متافیزیک ممکن است. طرح طبقه‌بندی کانت را مطالعه کنید که گزاره‌های متافیزیکی مانند «هر معلولی علتی دارد» را به دسته‌ای به نام «تألیفی پیشینی» محدود می‌کند.

28: نظریه فضا و زمان کانت

یاد بگیرید که چگونه هندسه نمونه‌های پارادایمی از احکام تألیفی پیشینی را ارائه می‌دهد که برای دیدگاه کانت در مورد متافیزیک لازم است. تصویر کانت از جهان، اقلیدسی بودن فضا را بدیهی می‌داند، ایده‌ای که توسط بزرگترین متفکران قرن هجدهم بدون چون و چرا پذیرفته شده بود.

29: فضای اقلیدسی، پرسپکتیو و هنر

هنر و اقلیدس از دوره رنسانس دست در دست هم داشته‌اند. بررسی کنید که چگونه نقاشان و معماران، از جمله پیرو دلا فرانچسکا، لئوناردو داوینچی، آلبرشت دورر، میکل‌آنژ و رافائل، از هندسه اقلیدسی برای ترسیم فضای سه‌بعدی بر روی سطوح صاف و طراحی ساختمان‌هایی که توازن هندسی را در خود جای داده‌اند، استفاده کردند.

30: هندسه نااقلیدسی - تاریخچه و مثال‌ها

این درس یکی از مهم‌ترین اکتشافات در ریاضیات مدرن را معرفی می‌کند: هندسه نااقلیدسی، حوزه‌ای جدید که با فرض نادرست بودن اصل پنجم اقلیدس توسعه یافت. سه ریاضیدان قرن نوزدهم—گاوس، لوباچفسکی و بویایی—به طور مستقل هندسه خودسازگاری را که از این فرض جسورانه پدید می‌آید، کشف کردند.

31: هندسه‌های نااقلیدسی و نسبیت

عمیق‌تر به هندسه نااقلیدسی بپردازید و بین سه نوع سطح تمایز قائل شوید: اقلیدسی و مسطح، لوباچفسکی و با انحنای منفی، و ریمانی و با انحنای مثبت. انیشتین کشف کرد که یک هندسه نااقلیدسی از نوع ریمانی، خواصی را که برای نظریه نسبیت عام خود نیاز داشت، دارا بود.

32: هندسه نااقلیدسی و فلسفه

فیلسوفان برای مدت طولانی هندسه اقلیدسی را به دلیل ارائه یک گزارش بدیهی و واقعی از جهان، ارج می‌نهادند. اما آنها به امکان اینکه ما در یک فضای نااقلیدسی زندگی می‌کنیم، چگونه واکنش نشان دادند؟ تلاش برای درک ماهیت هندسی واقعیت را کاوش کنید.

33: هنر، فلسفه و هندسه نااقلیدسی

این درس پاسخ‌های خلاقانه به هندسه نااقلیدسی و نظریه نسبیت انیشتین را ترسیم می‌کند. آثار هنرمندانی مانند پیکاسو، ژرژ براک، مارسل دوشان، رنه ماگریت، سالوادور دالی، ماکس ارنست و معمارانی مانند فرانک گری را بررسی کنید.

34: فرهنگ و ریاضیات در چین کلاسیک

فرهنگ‌های دیگر ریاضیات پیچیده‌ای را مستقل از غرب توسعه دادند. چین را به عنوان یک مثال جذاب بررسی کنید، جایی که هندسه برای مدت طولانی در سطح پیشرفته‌ای شکوفا شد و از روش‌هایی بسیار متفاوت از اروپا و در زمینه‌ای که بسیار کمتر تحت تأثیر فلسفه بود، استفاده می‌کرد.

35: صدای منتقدان

برخی از متفکرانی را که در طول تاریخ از تأثیر ریاضیات بر فرهنگ انتقاد کرده‌اند، از پاسکال و مالتوس گرفته تا دیکنز و وردزورث، بررسی کنید. نمونه‌ای از اعتراضات آنها: استدلال ریاضی حس کاذبی از دقت می‌دهد و تفکر ریاضی بی‌رحمی را پرورش می‌دهد.

36: ریاضیات و دنیای مدرن

پس از مرور نتایج اصلی دوره، پروفسور گرابینر با چهار تعامل مدرن بین ریاضیات و فلسفه به پایان می‌رساند: آنتروپی و اینکه چرا زمان به عقب برنمی‌گردد؛ نظریه آشوب؛ اثبات کورت گودل مبنی بر اینکه سازگاری ریاضیات قابل اثبات نیست؛ و سوالات مطرح شده توسط انقلاب کامپیوتر.