حساب دیفرانسیل و انتگرال - بخش 2: قسمت 1 - انتگرال‌ها و کاربردهای آن‌ها

آنچه یاد خواهید گرفت:

• چگونه مسائل مربوط به انتگرال‌های توابع با مقادیر حقیقی و یک متغیر (با مثال‌هایی از 419 مسئله حل شده) را حل کنید و چرا این روش‌ها موثر هستند.
• مفهوم انتگرال نامعین / تابع اولیه / انتگرال نامعین یک تابع و نحوه محاسبه این انتگرال‌ها به روشی معکوس نسبت به مشتق‌گیری
• انتگرال‌گیری به روش تغییر جزء: قاعده ضرب در معکوس، با مثال‌های متعدد از کاربردهای آن
• انتگرال‌گیری با تغییر متغیر: قاعده زنجیره در معکوس، با مثال‌های متعدد از کاربردهای آن
• انتگرال توابع کسری با کمک تجزیه به عبارت‌های جزئی
• انواع مختلف انتگرال‌های مثلثاتی و روش‌های حل آن‌ها
• تغییرات مستقیم و معکوس در تغییر متغیرها؛ انواع مختلف تغییرات مثلثاتی
• انتگرال‌گیری با استفاده از تغییر محور نیم‌زاویه (تبدیل ترگزیترم‌های جهانی)
• تبدیلات اویلر.
• تبدیلات مثلثاتی بر اساس مثلث‌ها
• انتگرال ریمان (انتگرال معین): تعریف و تفسیر هندسی آن بر اساس مساحت
• مثالی از تابعی که انتگرال‌پذیر نیست (تابع مشخصه مجموعه Q، محدود شده به [0,1])
• مجموع‌های نوسانی؛ معیار کاوزی برای انتگرال‌پذیری (ریمین)
• ویژگی‌های ترتیبی برای انتگرال‌پذیری ریمان
• اثبات یکنواختی پیوستگی توابع پیوسته بر روی بازه‌های بسته و محدود
• انتگرال‌پذیری توابع پیوسته بر روی بازه‌های بسته
• انتگرال‌گیری از طریق مشاهده: انتگرال‌های ریمان از توابع فرد (یا زوج) بر روی بازه‌های فشرده و متقارن نسبت به صفر
• انتگرال‌گیری از طریق مشاهده و ارزیابی برخی انتگرال‌های معین با کمک مساحت‌های هندسی
• کاربردهای انتگرال‌های ریمان: حجم حاصل از دوران‌ و مساحت سطحی حاصل از دوران‌
• کاربردهای انتگرال‌های ریمان: طول منحنی
• انتگرال‌های نامعین محدود (نحوه حل در بی‌نهایت‌های نامتناهی)
• انتگرال‌های نامعین نامحدود (انتگرال توابع بی‌نهایت در نقاط انتها)
• معیارهای مقایسه برای تعیین همگرایی یا هم‌نمایی انتگرال‌های نادرست

پیش‌نیازهای دوره

• پیش‌حساب دیفرانسیل و انتگرال: مفاهیم پایه، چندجمله‌ای‌ها و توابع کسری، مثلثات، نمایی و لگاریتم
• حسابان 1: حد و پیوستگی (یا معادل آن)
• حسابان 1: مشتق‌ها و کاربردهای آن (یا معادل آن)
• همیشه سوالات خود را بپرسید. اگر در مطالب آموزشی نکته‌ای نامفهوم است، آن را مطرح کنید. بهترین راه، استفاده از بخش سوال و جواب است؛ تا بقیه دانش‌آموزان هم توضیحات من را ببینند. یادتان باشد: با سوالات خود تنها نیستید، و پرسش در انجمن برای همه مفید است.

توضیحات دوره

حساب دیفرانسیل و انتگرال 2، قسمت 1 از 2: انتگرال‌ها و کاربردهای آن‌ها

حساب تفاضلی برای یک متغیر

S1. معرفی دوره

شما درباره محتوای این دوره و اهمیت حساب انتگرال خواهید آموخت. هدف این بخش، آموزش جزئیات کامل نیست (این موارد در ادامه دوره پوشش داده می‌شود)، بلکه تصویر کلی را ترسیم می‌کند.

S2. فرمول‌های پایه برای مشتق‌گیری معکوس

شما مفهوم تابع اولیه (انتگرال نامعین) و فرمول‌های مشتق توابع پایه را به صورت معکوس یاد می‌گیرید.

S3. انتگرال‌گیری به روش ضرب در معکوس

درک و کاربرد تکنیک «انتگرال‌گیری به روش ضرب در معکوس»؛ با مثال‌های رایج و واضح (مثلثاتی و نمایی)، مثال‌های کمتر واضح و مثال‌های شگفت‌انگیز (مانند تابع آرتانجنت و لگاریتم).

S4. تغییر متغیر: قاعده زنجیره در معکوس

یاد می‌گیرید چگونه معادله‌های انتگرال را با تغییر متغیر حل کنید و چطور تفاوتی که باید بدهید را شناسایی کنید.

S5. انتگرال‌گیری توابع کسری: تجزیه به عبارت‌های جزئی

نحوه حل انتگرال‌های توابع کسری با روش تجزیه به عبارات جزئی را یاد می‌گیرید.

S6. انتگرال‌های مثلثاتی

روش‌های مختلف برای محاسبه انتگرال‌هایی که شامل توابع مثلثاتی هستند؛ از جمله استفاده از هویت‌های مثلثاتی، تغییر محور نیم‌زاویه و دیگر روش‌های کمکی جهت کاهش حل مسأله به انتگرال یک تابع کسری.

S7. تغییر مستقیم و معکوس، و تکنیک‌های دیگر حل انتگرال

تبدیلات اویلر، تفاوت بین تغییر مستقیم و معکوس، تغییرات مثلثاتی، و روش‌های جایگزین مانند حل انتگرال در صورت صورت‌ مسئله با ضرایب نامعین.

S8. حل مسأله

فرصتی برای تمرین تکنیک‌های حل انتگرال، و مقدمه‌ای کوتاه برای مسائل مقدار اولیه (مبحثی که در دوره معادلات دیفرانسیل معمولی ادامه خواهد یافت).

S9. انتگرال‌های ریمان: تعریف و خصوصیات

روش تعریف انتگرال‌های ریمان، ارتباط آن‌ها با مفهوم مساحت، تقسیم‌ها و مجموع‌های ریمان، توابع قابل انتگرال‌پذیر، اثبات یکنواختی پیوستگی توابع پیوسته بر روی بازه‌های محدود، اثبات انتگرال‌پذیری توابع پیوسته و دارای تعداد محدود نقاط ناپیوستگی، توابع صعودی و مثال‌هایی از توابع غیرانتگرال‌پذیر، بیان و اثبات قضیه متوسط و کاربردهای آن در محاسبه مقدار متوسط یک تابع بر روی بازه.

S10. انتگرال‌گیری به شیوه مشاهده

چگونگی تعیین مقدار انتگرال برخی توابع با مدل‌های هندسی، خاصیت‌های انتگرال توابع زوج و فرد بر روی بازه‌های متقارن، و انتگرال توابع دوره‌ای.

S11. قضیه پایه حسابان

بیان و اثبات و تفسیر قضیه پایه حسابان، کاربرد آن در محاسبه انتگرال‌های ریمان، حدهای دنباله‌ها و مشتق‌گیری توابع تعریف‌شده بر پایه انتگرال، و اشاره‌ای کوتاه به کاربردهای آن در حسابان چندمتغیره.

S12. مساحت بین منحنی‌ها

محاسبه مساحت بین دو منحنی (توابع پیوسته)، به ویژه بین نمودارهای توابع و محور x.

S13. طول قوس

محاسبه طول قوس بخش‌هایی از نمودار تابع‌های مشتق‌پذیر.

S14. حجم حاصل از دوران

محاسبه حجم‌های مختلف با روش‌های گوناگون.

S15. مساحت سطحی

محاسبه سطح‌های سطحی به کمک حاصل از دوران‌ قسمت‌هایی از نمودار تابع‌های مشتق‌پذیر.

S16. انتگرال‌های نادرست نوع اول

حل انتگرال‌های بر روی بازه‌های بی‌نهایت.

S17. انتگرال‌های نادرست نوع دوم

حل انتگرال‌های بر روی بازه‌های غیر بسته، جایی که تابع زیرنویس در نقاط انتهای ممکن است بی‌نهایت باشد.

S18. معیارهای مقایسه

استفاده از معیارهای مقایسه برای تعیین همگرایی یا واگرایی انتگرال‌های نادرست با مقایسه آن‌ها با انتگرال‌های معروف دیگر.

S19. مطالب بیشتر

این دوره برای چه کسانی مناسب است؟

• دانشجویان دانشگاه و کالج که مایل به یادگیری حساب دیفرانسیل و انتگرال تک متغیره (یا آنالیز حقیقی) هستند
• دانش آموزان دبیرستانی که در مورد ریاضیات دانشگاهی کنجکاو هستند؛ این دوره برای بزرگسالان و این دانش آموزان در نظر گرفته شده است.