تسلط به جبر خطی (ماتریس‌ها، فضاهای برداری، متدهای عددی)

آنچه یاد خواهید گرفت:

• حل دستگاه معادلات خطی با استفاده از ماتریس‌ها و متدهای مختلفی مانند حذف گاوسی در مقابل حذف گاوس-جردن، فرم‌های پلکانی سطری و عملیات سطری.
• یافتن دترمینان و معکوس یک ماتریس و اعمال قاعده کرامر
• بردارها و عملیات مربوط به آن‌ها در فضای دو بعدی و سه بعدی، شامل جمع، ضرب اسکالر، تفریق، نمایش در دستگاه‌های مختصات و بردارهای موقعیت
• توسعه بردارها به فضای n-بعدی، شامل نُرم، بردارهای یکه استاندارد، ضرب داخلی و زاویه با استفاده از نامساوی کوشی-شوارتز
• تعامد و پروجکشن با استفاده از ضرب داخلی، تفسیر هندسی ضرب خارجی و حاصل‌ضرب سه‌گانه اسکالر
• فضاهای برداری حقیقی، زیرفضاها، ترکیب خطی و اسپن، استقلال خطی، پایه، بُعد، تغییر پایه و محاسبه ماتریس گذار
• فضای سطری، فضای ستونی و فضای پوچ، پایه و تأثیر عملیات سطری بر این فضاها
• رتبه، پوچی، فضاهای ماتریسی اساسی، دستگاه‌های بیش‌معین و کم‌معین و مکمل‌های متعامد
• تبدیلات ماتریسی و ویژگی‌های آن‌ها، یافتن ماتریس‌های استاندارد، ترکیب تبدیلات و تبدیلات یک به یک
• مقادیر ویژه، بردارهای ویژه، فضاهای ویژه، تفسیر هندسی، توان‌های ماتریس، قطری‌سازی ماتریس‌های متشابه، و geometric multiplicity و algebraic multiplicity
• فضاهای برداری مختلط، مقادیر ویژه، بردارهای ویژه، ماتریس‌ها و ضرب داخلی و تفسیر هندسی آن‌ها
• فضاهای ضرب داخلی، تعامد، فرآیند گرام اشمیت و پایه اورتونرمال، پروجکشن متعامد
• قطری‌سازی متعامد، ماتریس‌های متقارن و تجزیه طیفی
• فرم‌های درجه دوم، قضیه محورهای اصلی، مقاطع مخروطی و معین مثبت بودن
• قطری‌سازی ماتریس‌های مختلط، ماتریس‌های هرمیتی و یکانی، ماتریس‌های پادمتقارن و پادهرمیتی
• متدهای عددی مستقیم/تکراری، شامل تجزیه LU و LDU، متد توانی، کمترین مربعات، تجزیه مقدار منفرد (SVD) و تجزیه QR، تکرار گاوس-سایدل
• کاربردها، شامل موازنه معادلات شیمیایی، درون‌یابی چندجمله‌ای، حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE)، رگرسیون خطی و تقریب توابع

پیش نیازهای دوره

• جبر مقدماتی
• دانش حداقلی از حسابان 2 (انتگرال‌گیری و معادلات دیفرانسیل معمولی) برای برخی از کاربردها (بخش آخر)

توضیحات دوره

این دوره به گونه‌ای طراحی شده است که یادگیری جبر خطی را آسان کند. این دوره به صورت بخش‌های هدفمند با درس‌های متمرکز و مثال‌های حل‌شده فراوان تنظیم شده تا به شما اصول محکم در مباحث کلیدی، از تئوری تا کاربردها، ارائه دهد.

این دوره ایده‌آل است برای:

• دانشجویان جبر خطی که می‌خواهند در کلاس خود جزو بهترین‌ها باشند.
• هر شخصی که به ریاضیات علاقه‌مند است و یا به یک دوره یادآوری نیاز دارد.
• هر شخصی که در رشته‌ای تحصیل می‌کند که به جبر خطی نیاز دارد، از جمله علوم، فیزیک و مهندسی، برنامه‌نویسی گرافیک و بازی، تحلیل المان محدود، یادگیری ماشین، تحلیل کلان‌داده، اقتصاد، امور مالی و غیره

در پایان این دوره، شما اصولی قوی در یکی از مهم‌ترین رشته‌های ریاضیات کاربردی خواهید داشت که اگر در زمینه‌های علوم، علوم کامپیوتر، مهندسی، اقتصاد یا امور مالی فعالیت می‌کنید، قطعاً با آن مواجه خواهید شد.

این دوره سرفصل‌ها و مباحث اصلی زیر را در جبر خطی پوشش می‌دهد:

دستگاه معادلات خطی و ماتریس‌ها

• مقدمه‌ای بر معادلات خطی و فرم کلی دستگاه‌های خطی
• جواب‌های دستگاه‌های خطی با دو یا سه مجهول
• ماتریس‌های افزوده و عملیات سطری
• فرم‌های پلکانی سطری
• حذف گاوس-جردن در مقابل حذف گاوسی (با جایگذاری پس‌رو)
• دستگاه‌های خطی همگن
• نمادگذاری ماتریس و بردار، اندازه و عملیات ماتریسی
• ماتریس‌های قطعه‌بندی‌شده
• معکوس ماتریس یا حاصل‌ضرب ماتریس‌ها و حل دستگاه‌های خطی با معکوس‌گیری ماتریس
• ماتریس‌های قطری، مثلثی و متقارن و معکوس، ترانهاده و توان‌های آن‌ها

دترمینان و معکوس ماتریس

• دترمینان ماتریس با استفاده از ماتریس‌های کهاد و حذف گاوسی
• محاسبه معکوس ماتریس با استفاده از ماتریس الحاقی 
• قاعده کرامر

توسعه بردارها از فضای سه‌بعدی به فضای n-بعدی

• بردارها در فضای دوبعدی و سه‌بعدی
• بردارها در فضای n-بعدی
• نُرم یک بردار در فضای n-بعدی و بردارهای یکه استاندارد
• ضرب داخلی در فضای n-بعدی
• تعامد و پروجکشن با استفاده از ضرب داخلی
• ضرب خارجی، حاصل‌ضرب سه‌گانه اسکالر، مساحت و حجم

فضاهای برداری حقیقی

• فضاهای برداری حقیقی
• زیرفضاهای برداری، اسپن، ترکیب‌های خطی
• بردارهای مستقل خطی و استقلال خطی
• پایه برای یک فضای برداری و بردارهای مختصاتی
• بُعد یک فضای برداری
• تغییر پایه، بردارهای مختصاتی، نگاشت و ماتریس گذار

فضاهای ماتریسی اساسی

• فضای سطری، ستونی و پوچ
• سازگاری دستگاه‌های خطی و برهم‌نهی (سوپرپوزیشن) جواب‌ها
• تأثیر عملیات سطری بر فضای سطری، ستونی و پوچ
• پایه برای فضای سطری و ستونی
• رتبه و پوچی یک ماتریس
• دستگاه‌های بیش‌معین و کم‌معین
• فضاهای ماتریسی اساسی
• مکمل‌های متعامد

تبدیلات و عملگرهای ماتریسی

• الف) تبدیلات ماتریسی و ویژگی‌های آن‌ها
• ب) یافتن ماتریس‌های استاندارد
• ج) عملگرها، شامل پروجکشن، بازتاب، دوران و برش
• د) ترکیب تبدیلات ماتریسی
• ه) تبدیلات یک به یک و معکوس یک عملگر ماتریسی

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، فضاهای برداری مختلط

• مقادیر ویژه، بردارهای ویژه و فضاهای ویژه
• ماتریس‌های متشابه و قطری‌سازی
• فضاهای برداری مختلط، مقادیر ویژه، بردارهای ویژه و ضرب داخلی اقلیدسی

فضاهای ضرب داخلی

• فضاهای ضرب داخلی، نُرم و فاصله، ضرب‌های داخلی ماتریسی
• تعامد
• ج) فرآیند گرام اشمیت برای یافتن یک پایه اورتونرمال از یک مجموعه متعامد

قطری‌سازی متعامد، ماتریس‌های متقارن و فرم‌های درجه دوم

• ماتریس‌های متعامد
• قطری‌سازی متعامد و تجزیه طیفی
• فرم‌های درجه دوم، مقاطع مخروطی، معین مثبت بودن
• ترانهاده مزدوج، قطری‌سازی ماتریس‌های هرمیتی و یکانی

متدهای عددی

• تجزیه LU و LDU
• متد توانی برای تخمین مقادیر ویژه و بردارهای ویژه با استفاده از تکرار
• تقریب کمترین مربعات
• تجزیه مقدار منفرد
• تجزیه QR
• تکرار گاوس-سایدل و ژاکوبی

کاربردها

• موازنه معادلات شیمیایی
• تقریب انتگرال‌ها با درون‌یابی چندجمله‌ای
• حل دستگاه‌های خطی معادلات دیفرانسیل معمولی با قطری‌سازی
• رگرسیون خطی با استفاده از متد کمترین مربعات
• تقریب توابع با استفاده از متد کمترین مربعات و سری فوریه

این دوره برای چه کسانی مناسب است؟

• دانشجویان جبر خطی که می‌خواهند در کلاس خود جزو بهترین‌ها باشند.
• هر شخصی که به ریاضیات علاقه‌مند است و یا به یک دوره یادآوری نیاز دارد.
• هر شخصی که در رشته‌ای تحصیل می‌کند که به جبر خطی نیاز دارد، از جمله علوم، فیزیک و مهندسی، برنامه‌نویسی گرافیک و بازی، تحلیل المان محدود، یادگیری ماشین، تحلیل کلان‌داده، اقتصاد، امور مالی و غیره.